Równania i nierównośći

[karina]

Zad.1.
Ile pierwiastków ma równanie
\(\displaystyle{ x^2-2x-\log _2|1-x|=3}\). Podaj ilustrację graficzną .


Zad.2.
Rozwiąż nierówność
\(\displaystyle{ \log _\frac{1}{3} \left( \frac{1}{x} \right) +\log _x 3 \le 2}\)

Dziękuje za pomoc:)

[Belf]

Zad 1)
Założenie: \(\displaystyle{ x \neq 1}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4 - 4 \left( -\log _2|1-x| +3 \right) = 4 + 4\log _2|1-x| -12=4 \left( \log _2|1-x|-2 \right) =4 \left( \log _2|1-x|-2\log _22 \right) =4\left( \log _2 \frac{|1-x|}{4} \right)}\)

I teraz analizujesz znak wyróżnika, a co za tym idzie ustalasz ilość rozwiazań.

-- 20 gru 2018, o 13:09 --

Zad 2)

Założenie: \(\displaystyle{ x>0}\)

\(\displaystyle{ -\log _3 \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{\log _33}{\log _3x} \le 2 \Leftrightarrow \log _3x + \frac{1}{\log _3x} \le 2}\)

Teraz podstawienie: \(\displaystyle{ \log _x = t}\) i czyba już sobie poradzisz dalej.

[karina]

Dzięki z pomoc:)

[Dilectus]

Zad.1.

Możma bez liczenia i analizowania delty:

\(\displaystyle{ x^2-2x-\log _2|1-x|=3}\)

\(\displaystyle{ x^2-2x-3=\log _2|1-x|}\)

Narysuj wykresy lewej i prawej strony równania. Zobaczysz wtedy, że są one symetryczne wzgl. prostej \(\displaystyle{ x=1}\)
Jak łatwo się przekonać, wierzchołek tej paraboli wypada w punkcie \(\displaystyle{ x=1}\), który nie należy do dziedziny (bo logarytm z zera nie istnieje).
Natomiast widać, że w \(\displaystyle{ x=1}\) jest asymptota pionowa funkcji \(\displaystyle{ \log _2|1-x|}\)

W świetle powyższych rozważań można stwierdzić, że to równanie ma dwa rozwiązania.

[a4karo]

Pozwolę sobie skomentować "rozwiązanie" Belfa

Ile rozwiązań ma równanie \(\displaystyle{ x^2+2x+1=0}\)

Napiszmy to w postaci \(\displaystyle{ x^2+x+(1+x)=0}\), policzmy "Deltę" \(\displaystyle{ \Delta=1-4(1+x)=-4x-3}\)

Wniosek: dla \(\displaystyle{ x<-3/4}\) równanie ma dwa rozwiązania, dla \(\displaystyle{ x>-3/4}\)nie ma rozwiązań.

Oczywiście wnioskowanie Belfa jest błędne, bo \(\displaystyle{ x^2-2x-\log _2|1-x|=3}\) nie jest równaniem kwadratowym