szereg Maclaurina

[VirtualUser]

Cześć, ostatnio próbowałem policzyć coś takiego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 17^n}}\)
jednak stwierdziłem, że ten wzór wygląda mi podobnie do \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}nq^n}\)
więc pewnie stoi za tym jakiś piękny wzorek. Cóż, sprawdziłem to i powinno wyjść tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot p^n} = ln\frac{p}{p-1}}\)
No i teraz jestem ciekaw jak to udowodnić. Osobiście kombinuję z szeregiem Maclaurina:
\(\displaystyle{ \ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n}\) (*)
wtedy miałbym oczywiście:
\(\displaystyle{ \ln(1-x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} x^n}\)
bo jakoś sądzę, że najszybciej ten wzór może z tego paść. Ale tak ślisko trochę się poruszam bo niezbyt mogę korzystać z rzeczy, których jeszcze nie miałem więc po pierwsze musiałbym udowodnić ten szereg a potem dopiero tamto. Gdy mam już ten szereg, to tamto łatwo, ale jak ten szereg?
W każdym bądź razie, czy ktoś ma jakiś pomysł, jak można udowodnić (*)?

[Premislav]

Dla \(\displaystyle{ |t|<1}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+t}= \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n t^n}\)
ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.
Niech \(\displaystyle{ |x|<1}\). Całkujemy powyższą równość w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\) i dostajemy:
\(\displaystyle{ \ln(1+x)= \int_{0}^{x} \left( \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n t^n\right) \,\dd t=\\= \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{x}(-1)^n t^n\,\dd t \right) =\\= \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}= \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}}\)
Korzystamy tutaj z twierdzenia o całkowaniu szeregów potęgowych.

[VirtualUser]

Pewnie całki się tutaj nie uniknie? Pytam z perspektywy osoby, która nie miała z tym styczności

[Premislav]

Można po prostu skorzystać ze wzoru Maclaurina z resztą w postaci Lagrange'a i udowodnić, że reszty będą dążyły do zera, to jest z samym rachunkiem różniczkowym. Ale w międzyczasie trzeba by udowodnić indukcyjnie wzór na n-tą pochodną \(\displaystyle{ \ln(1+x)}\).
Prawdziwy sztos to byłby dowód tak bez rachunku całkowego, jak i nawet bez rachunku różniczkowego, takiego nigdym nie widział.

[VirtualUser]

Wyzwanie na święta - zrobić taki sztos hah, w każdym razie, dzięki wielkie