Zbieżność z parametrami

[XYZmat]

Jak poradzić sobie ze zbieżnością takiego szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{ \sqrt{n!} }{(c+ \sqrt{1})(c+ \sqrt{2})...(c+ \sqrt{n})}}\), gdzie \(\displaystyle{ c>0}\)? Próbowałam kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego, ale jest to akurat przypadek graniczny, gdy \(\displaystyle{ b_n \rightarrow 1}\) oraz \(\displaystyle{ b_n \le 1}\), więc z tych metod skorzystać nie mogę

[Premislav]

Możesz zastosować kryterium Raabego:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Raabego

\(\displaystyle{ n\left( \frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) =n \cdot \left( \frac{c+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}-1 \right) =\\=\frac{nc}{\sqrt{n+1}}}\).
o ile się nie rąbnąłem.

[XYZmat]

A da się bez tego kryterium? Wiem, że to dziwne, ale nie mogę korzystać z niczego czego nie miałam na zajęciach, choć wiem, że z tym kryterium byłoby najprościej, bo je odnalazłam już wcześniej

[Premislav]

Chociaż jak patrzę do innego tematu, gdzie podobno nie miałaś kryterium Leibniza (WTF i nie chodzi mi tu o wielkie twierdzenie Fermata), to pewnie Raabego też nie, ale ja to „nie wolno mi korzystać" uważam za nieporozumienie: sądzę, że powinno być dopuszczone korzystanie ze wszystkiego, co jest poprawne i z niczego, co jest niepoprawne. Można zaproponować bardziej elementarne rozwiązanie, tylko pytanie po co? Sztuczki algebraiczne to nie jest istota studiów ścisłych. Żałosne (to ostatnie słowo kieruję nie w Twoją stronę, lecz w stronę osoby, która wymyśla takie zasady).

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ c>0}\).
Zauważmy, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ k}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{k}}{c+\sqrt{k}}\le \left( \frac k {k+1}\right)^{1+c}}\), gdyż z Bernoulliego:
\(\displaystyle{ \left( 1-\frac{1}{k+1}\right)^{1+c}\ge 1- \frac{c+1}{k+1} \ge 1-\frac{c}{c+\sqrt{k}}}\)
(tę ostatnią nierówność jeszcze trzeba rozdłubać, ale machnę na to ręką, łatwo dobrać odpowiednie \(\displaystyle{ k}\), co zalecam Ci zrobić, znając czepliwość niektórych sprawdzających, przeważnie sfrustrowanych doktorantów).
Niech ta nierówność zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ k\ge k_0}\) i niech \(\displaystyle{ n>k_0}\)
Mnożymy stronami dla \(\displaystyle{ k=k_0\ldots n}\) takie nierówności i mamy oszacowanie wyrazów szeregu dla \(\displaystyle{ n>k_0}\) przez \(\displaystyle{ C\cdot \frac{1}{(n+1)^{c+1}}}\),
gdzie
\(\displaystyle{ C= \frac{\sqrt{(k_0-1)!}}{(c+\sqrt{1})\ldots(c+\sqrt{k_0-1})} \cdot k_0^{1+c}}\)-- 18 gru 2018, o 13:52 --O, no właśnie. Ciekawe, jak osoba ustalająca takie reguły poradziłaby sobie z wyprowadzaniem całej matmy z aksjomatów, lel. xDDDD