Mam udowodnić, że dla:
\(\displaystyle{ a>1, m \in N}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{a^x}{x^m}= \infty}\)
Robiłem to zadanie następująco:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\left( \frac{a}{x^{ \frac{m}{x} }}\right)^x=\lim_{x \to \infty } \left( \frac{a}{ \sqrt[x]{x}^m }\right)^x = \infty}\)
Gdyż:
\(\displaystyle{ \sqrt[x]{x}=1}\)
A więc mianownik zbiega do \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{ \sqrt[x]{x}^m }\right)}\) będzie większe od \(\displaystyle{ 1}\), czyli całość będzie rozbieżna do nieskończoności. Ten dowód wydaje mi się trochę naciągany, ale na nic lepszego nie wpadłem.
Udowodnić granice
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Udowodnić granice
no chyba nie za bardzo. Za to prawdą jest\(\displaystyle{ \sqrt[x]{x}=1}\)
\(\displaystyle{ {\red \lim_{x \to \infty}} x^{\frac 1 x}=1}\)
Wobec tego dla ustalonego \(\displaystyle{ m\in \NN}\) będzie również
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}x^{\frac m x}=1}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Udowodnić granice
Tak, wtedy ten trop ma sens, np. z definicji granicy wynika, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) jest
\(\displaystyle{ x^{\frac m x}<\frac{a+1}{2}}\)
(wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{a-1}{2}}\)), a wówczas
\(\displaystyle{ \frac{a^x}{x^m}>\left( \frac{2a}{a+1}\right)^x}\).
Może nie trzeba już nawet tego tak rozpisywać, zależy od wymagań (których ja nie znam), być może wystarczy tw. o arytmetyce granic.
\(\displaystyle{ x^{\frac m x}<\frac{a+1}{2}}\)
(wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{a-1}{2}}\)), a wówczas
\(\displaystyle{ \frac{a^x}{x^m}>\left( \frac{2a}{a+1}\right)^x}\).
Może nie trzeba już nawet tego tak rozpisywać, zależy od wymagań (których ja nie znam), być może wystarczy tw. o arytmetyce granic.