Wartość oczekiwana zmiennej losowej.

[pawlo392]

Określam sobie taką zmienną losową :

\(\displaystyle{ Y=\begin{cases} X^2 &\text{dla } X > \frac{1}{2} \\ 3 &\text{dla } X \le \frac{1}{2} \end{cases}}\). Gdzie \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [-1,1]}\).
Wiadomo jaka jest gęstość \(\displaystyle{ X}\). Zatem piszę :
\(\displaystyle{ E(Y)=E\left( X^2 \cdot 1_{\left\{ X > \frac{1}{2}\right\} }+ 3 \cdot 1_{\left\{ X \le \frac{1}{2}\right\} }\right)}\). Oczywiście z liniowości mogę rozdzielić na dwie sumy. Uwzględniając gęstość i funkcje charakterystyczne mam sumę następujących całek:
\(\displaystyle{ \int_{ \frac{1}{2} }^{1}x^2\cdot \frac{1}{2}dx + \int_{-1}^{ \frac{1}{2} } \frac{3}{2} dx}\).
Trochę się zastanawiam nad tą stałą. Przecież wartość oczekiwana ze stałej to właśnie ta stała. Ale z drugiej strony mogę traktować to jako funkcję mierzalną.

[Premislav]

Przecież wartość oczekiwana ze stałej to właśnie ta stała

Co w związku z tym? Drugi składnik to wartość oczekiwana z wyrażenia
\(\displaystyle{ 3 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left\{X\le \frac 1 2\right\}}}\).
A to wyrażenie nie jest stałe.
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left( 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left\{X\le \frac 1 2\right\}}\right) =\mathbf{P}\left( X\le \frac 1 2\right)}\),
więc dobrze zapisałeś tę całkę.