Podać produkt

[Milia]

Mam problem z podaniem definicji (brak notatek nie pomaga )
Zadanie:
Podać definicje produktu \(\displaystyle{ X \times Y}\)dwóch przestrzeni metrycznych.

[ivni]

\(\displaystyle{ X \times Y}\) jest to zbiór wszystkich uporządkowanych par liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\) takich, że \(\displaystyle{ x \in X}\) oraz \(\displaystyle{ y \in Y}\). Taki zapis nazywany jest iloczynem kartezjańskim. Przykładem może być \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2=\mathbb{R} \times \mathbb{R}}\), czyli po prostu płaszczyzna euklidesowa, gdzie ta uporządkowana para liczb to współrzędne punktu.

[Milia]

Tylko, że to jest iloczyn kartezjański dwóch przestrzeni metrycznych. Rozumiem, że to nic nie zmienia i def. jest taka sama?

[krl]

Zmienia. Produkt \(\displaystyle{ X\times Y}\) przestrzeni metrycznych to przestrzeń metryczna, tzn. zbiór \(\displaystyle{ X\times Y}\) (produkt kartezjański) wraz z określoną w nim metryką "produktową". Więc trzeba jeszcze podać tę metrykę produktową. Popatrz w wikipedii...

[ivni]

Zazwyczaj metrykę przyjmuje się \(\displaystyle{ d_p((x_1,x_2),(y_1,y_2))=(d_X(x_1,y_1)^p+d_Y(x_2,y_2)^p)^{ \frac{1}{p} }}\) dla pewnego całkowitego \(\displaystyle{ p \ge 1}\).

[Milia]

Czyli: \(\displaystyle{ X \times Y=\langle X,d_p\rangle}\)
gdzie \(\displaystyle{ d_p((x_1,x_2),(y_1,y_2))=(d_X(x_1,y_1)^p+d_Y(x_2,y_2)^p)^{ \frac{1}{p} }}\)
dla pewnego całkowitego\(\displaystyle{ p \ge 1}\) ?

[Jan Kraszewski]

Czyli: \(\displaystyle{ X \times Y=\langle X,d_p\rangle}\)

Ten napis jest zupełnie bez sensu.

JK