Zastosowanie rachunku różniczkowego

[secter]

Dzień dobry. Jest ktoś w stanie pomóc w rozwiązaniu tego zadania? Totalnie nie wiem jak się za to zabrać.

\(\displaystyle{ 20}\) litrowy pojemnik zawiera powietrze \(\displaystyle{ \left( 80 \% \ azotu \ i \ 20 \% \ tlenu\right)}\). Do naczynia wpływa \(\displaystyle{ 0.1}\) litra azotu na sekundę. Zakładamy, że azot rozprowadza się w naczyniu równomiernie i błyskawicznie. Po jakim czasie będzie w naczyniu \(\displaystyle{ 99 \%}\) azotu?

[janusz47]

\(\displaystyle{ x(t)}\) stężenie azotu w chwili \(\displaystyle{ t, \ \ t>0.}\)

\(\displaystyle{ x'(t) = \frac{0,1}{20}x(t) = \frac{1}{200}x(t) \ \ (1)}\)

Równanie (1) jest równaniem o zmiennych rozdzielających się:

\(\displaystyle{ \frac{1}{200} \cdot t + C_{1} =\int dt = \int \frac{x'(t) dt}{x(t)} = \int\frac{dx}{x}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \ln |x|= \frac{1}{200}t +C_{1},}\)

\(\displaystyle{ \pm x = Ce^{\frac{1}{200}t}, \ \ C = e^{C_{1}}\)

Z warunku początkowego:

\(\displaystyle{ x(0) = 0,80}\)

\(\displaystyle{ 0,80 = Ce^{\frac{1}{200}\cdot 0}}\)

\(\displaystyle{ C = 0,80.}\)

Stężenie azotu w pojemniku w chwili t opisuje funkcja:

\(\displaystyle{ x(t) = 0,80 e^{\frac{1}{200}\cdot t}}\)

Z treści zadania:

\(\displaystyle{ 0,99 = 0,80\cdot e^{\frac{1}{200}\cdot t}}\)

\(\displaystyle{ t \approx 43 s.}\)

Po około \(\displaystyle{ 43}\) sekundach stężenie azotu w pojemniku osiągnie wartość \(\displaystyle{ 0,99\%.}\)