Ciąg punktów skupienia

[Kordyt]

A to na 1 roku analizy nie ma przestrzeni metrycznych ?
Myślałem, że od tego się zaczyna - szczególnie na analizie.

No ale jeśli nie to całe rozumowanie można zastąpić warunkiem istnienia otoczeń.

Dla dowolnego otoczenia otwartego \(\displaystyle{ U\ni c}\) istnieje wskaźnik \(\displaystyle{ N\in\mathbb{N}}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n>N}\)

\(\displaystyle{ c_{n}\in U}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty więc możemy dobrać takie otoczenia \(\displaystyle{ U_n}\) punktów \(\displaystyle{ c_n}\), aby \(\displaystyle{ \bigcup_{n=N+1}^{\infty} U_n \subset U}\)

dla otoczeń \(\displaystyle{ U_n\ni c_n}\) istnieje \(\displaystyle{ K(n)}\), że dla każdego \(\displaystyle{ k(n)>K(n)}\)

\(\displaystyle{ a_{n_{k(n)}}\in U_n}\)

A więc \(\displaystyle{ a_{n_{k(n)}}\in U}\) dla \(\displaystyle{ n>N}\), mamy zatem podciąg którego prawie wszystkie elementy wpadają w \(\displaystyle{ U}\)

[arek1357]

Co to jest:

\(\displaystyle{ k(n),K(n)}\)

Tak czy siak zbiór punktów skupienia ciągu to brzeg tego zbioru...

[Kordyt]

W zasadzie to zamiast \(\displaystyle{ k(n)}\) mogłem napisać \(\displaystyle{ K(n)+1}\)

\(\displaystyle{ K(n)}\) jest liczbą całkowitą określoną z osobna dla każdego podciągu zbieżnego do \(\displaystyle{ c_n}\), \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)

[arek1357]

Zawsze można do każdego punktu \(\displaystyle{ c_{n}}\) znaleźć podciąg różnowartościowy i zbieżny \(\displaystyle{ a_{i,n}}\) do \(\displaystyle{ c_{n}}\).

A potem z tych podciągów z każdego po jednym punkcie dobierać tak, żeby granicą było \(\displaystyle{ c}\).

[Kordyt]

No o to mi dokładnie chodzi.
Przy czym być może trochę za bardzo zagmatwałem zapis.

[Dasio11]

Jeśli nie będzie prawdziwe to a nie będzie punktem skupienia zbioru A

Fakt, źle przeczytałem definicję zbioru \(\displaystyle{ A}\). Ale nadal z tego co napisałeś nie wynika, że zbiór punktów skupienia jest domknięty.

Określmy teraz taki podciąg ciągu \(\displaystyle{ a_n}\)

\(\displaystyle{ a_{n_{k(n)}}}\), że \(\displaystyle{ k(n)>K(n)}\) oraz \(\displaystyle{ n>N(\epsilon)}\)
[...]
A więc dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\) możemy określić taki podciąg ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) który będzie zbieżny do \(\displaystyle{ c}\).

Ta definicja jest nieprzejrzysta:
\(\displaystyle{ \bullet}\) nie wiadomo czym jest \(\displaystyle{ n_k}\), co jest konsekwencją tego, że oznaczenie ciągu przez \(\displaystyle{ n_k}\) nie wskazuje, do którego \(\displaystyle{ n}\) ten ciąg jest dobrany;
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ K(n, \epsilon)}\) początkowo zależało od \(\displaystyle{ \epsilon}\) a teraz już nie zależy.

Ponadto na końcu stwierdzasz, że dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon}\) znajdujemy podciąg zbieżny do \(\displaystyle{ c}\), a to jest bez sensu, bo trzeba wybrać jeden niezależny od \(\displaystyle{ \epsilon}\) podciąg zbieżny do \(\displaystyle{ c}\).

dla otoczeń \(\displaystyle{ U_n\ni c_n}\) istnieje \(\displaystyle{ K(n)}\), że dla każdego \(\displaystyle{ k(n)>K(n)}\)

\(\displaystyle{ a_{n_{k(n)}}\in U_n}\)

A więc \(\displaystyle{ a_{n_{k(n)}}\in U}\) dla \(\displaystyle{ n>N}\), mamy zatem podciąg którego prawie wszystkie elementy wpadają w \(\displaystyle{ U}\)

Definicja określanego podciągu wciąż pozostaje niejasna, ale z ostatniego zdania wnioskuję, że kluczowy błąd się powtarza: podciąg zależy od otoczenia \(\displaystyle{ U}\).

No i dowód nie może operować tylko na otoczeniach otwartych, bo wtedy działałby w dowolnych przestrzeniach topologicznych, a dla takich teza nie musi być prawdziwa.

[arek1357]

Tak jak wyżej napisałem dla niedowiarków bierzesz\(\displaystyle{ c_{i}}\) do każdego z tych punktów leci jakiś podciąg różnowartościowy ze zbioru \(\displaystyle{ A}\), i teraz wystarczy z każdego podciągu wybierać punkty zbiegające do c...a da się to zrobić....

\(\displaystyle{ d(a_{i},c_{i})< \frac{1}{n}}\)

Wspólna granica będzie dla:

\(\displaystyle{ a_{i} \wedge c_{i}}\)

No ponieważ \(\displaystyle{ a_{i}}\) ma granicę...