Witam . Prosił bym o pomoc w rozwiązaniu zadania z rachunku różniczkowego
Zad .
Butelka wody w temperaturze początkowej 25 C umieszczona w lodówce o temperaturze wewnętrznej 5 C
.Biorąc pod uwagę że temperatura wody wynosiła 20 C dziesięć minut po umieszczeniu w lodówce ,jaka będzie temperatura wody po godzinie ?
Z góry dziękuje .
Równanie różniczkowe . Ćwiczenie z treścią
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Równanie różniczkowe . Ćwiczenie z treścią
Prawo stygnięcia Newtona
Szybkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur między ciałem i otoczeniem.
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ T(t)}\) temperaturę butelki z wodą w chwili \(\displaystyle{ t ,}\) przy czym spełnione są równania:
\(\displaystyle{ T(0)= 25^{o}C.}\)
\(\displaystyle{ T(10) = 20^{o}C.}\)
Niech \(\displaystyle{ k}\) oznacza współczynnik proporcjonalności.
Dla dostatecznie małej liczby \(\displaystyle{ \Delta t}\) zachodzi przybliżona równość:
\(\displaystyle{ \frac{T(t+\Delta t) - T(t)}{\Delta T} \approx k( T(t) - 5)}\)
Przy przejściu do granicy przy \(\displaystyle{ \Delta T \rightarrow 0}\) otrzymujemy równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ T'(t) = k(T(t) - 5)}\)
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.
\(\displaystyle{ k\cdot t + C = \int k\cdot dt = \int \frac{T'(t)}{T(t) -5}dt = \int \frac{dT}{T- 5}= \ln(|T- 5|)}\)
Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ T > 5.}\)
Wobec tego \(\displaystyle{ T - 5 = T(t) -5 = e^{C}\cdot e^{kt}}\)
Mamy \(\displaystyle{ 25 = T(0) = 5+ e^{C}\cdot e^{0\cdot t} \ \ (1)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 20 = 5 + e^{C}\cdot e^{k\cdot 10} \ \ (2)}\)
Z równań \(\displaystyle{ (1), (2)}\)
\(\displaystyle{ e^{C} = 20}\) i \(\displaystyle{ 15 = 20 e^{k\cdot 10}, \ \ k = \frac{1}{10}\ln(0,75),\ \ k\approx -0,03.}\)
\(\displaystyle{ T(t) = 5 + 20 e^{-0,03\cdot t}}\)
Temperatura wody w butelce po \(\displaystyle{ 1}\) godzinie wynosi:
\(\displaystyle{ T(60) = 5 +20e^{-0,03 \cdot 60}\approx 8^{o}C.}\)
Szybkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur między ciałem i otoczeniem.
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ T(t)}\) temperaturę butelki z wodą w chwili \(\displaystyle{ t ,}\) przy czym spełnione są równania:
\(\displaystyle{ T(0)= 25^{o}C.}\)
\(\displaystyle{ T(10) = 20^{o}C.}\)
Niech \(\displaystyle{ k}\) oznacza współczynnik proporcjonalności.
Dla dostatecznie małej liczby \(\displaystyle{ \Delta t}\) zachodzi przybliżona równość:
\(\displaystyle{ \frac{T(t+\Delta t) - T(t)}{\Delta T} \approx k( T(t) - 5)}\)
Przy przejściu do granicy przy \(\displaystyle{ \Delta T \rightarrow 0}\) otrzymujemy równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ T'(t) = k(T(t) - 5)}\)
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.
\(\displaystyle{ k\cdot t + C = \int k\cdot dt = \int \frac{T'(t)}{T(t) -5}dt = \int \frac{dT}{T- 5}= \ln(|T- 5|)}\)
Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ T > 5.}\)
Wobec tego \(\displaystyle{ T - 5 = T(t) -5 = e^{C}\cdot e^{kt}}\)
Mamy \(\displaystyle{ 25 = T(0) = 5+ e^{C}\cdot e^{0\cdot t} \ \ (1)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 20 = 5 + e^{C}\cdot e^{k\cdot 10} \ \ (2)}\)
Z równań \(\displaystyle{ (1), (2)}\)
\(\displaystyle{ e^{C} = 20}\) i \(\displaystyle{ 15 = 20 e^{k\cdot 10}, \ \ k = \frac{1}{10}\ln(0,75),\ \ k\approx -0,03.}\)
\(\displaystyle{ T(t) = 5 + 20 e^{-0,03\cdot t}}\)
Temperatura wody w butelce po \(\displaystyle{ 1}\) godzinie wynosi:
\(\displaystyle{ T(60) = 5 +20e^{-0,03 \cdot 60}\approx 8^{o}C.}\)