Czynnik całkujący

[fluffiq]

Poniższe równanie jest zupełne lub sprowadzalne do zupełnych za pomocą czynnika całkującego. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne lub szczególne jeżeli podany jest warunek początkowy.

\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)

Niestety nigdy nie liczyłem taka metoda wiec nie bardzo wiem jak zrobić to zdanie.

[yorgin]

Polecam temat 362662.htm jako wstęp do metody.

[fluffiq]

\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)


\(\displaystyle{ \pfrac{P}{y} = \frac{2x^{2} - y}{ \partial y } = -1}\)

\(\displaystyle{ \pfrac{Q}{x} = \frac{x^{2}y + x}{ \partial x} = 1}\)

czyli zachodzi:

\(\displaystyle{ \pfrac{P}{y}\neq \pfrac{Q}{x}}\)

czyli liczymy
\(\displaystyle{ \frac{1}{P-Q}\left(\pfrac{Q}{y}-\pfrac{P}{x}\right)}\)

czyli

\(\displaystyle{ \mu(S) = \frac{1}{2x^{2} -y - x^{2}y - x } \left( x^{2} - 4x \right) = \frac{x^{2} - 4x}{x ^{2}\left( 2 - y \right) -y - x }}\)

i dalej mnie blokuje. Czy coś pomyliłem?

[Mariusz M]

Nie tego czynnika całkującego szukasz

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{P}\left( \frac{ \partial Q}{ \partial x}- \frac{ \partial P}{ \partial y} \right) \mbox{d}y\\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{Q}\left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x} \right) \mbox{d}x \\}\)

Próbuj najpierw czynników zależnych od jednej zmiennej

\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)


\(\displaystyle{ P=2x^{2} - y \\
Q=x^{2}y + x\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=-1\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x}=2xy+1\\
\frac{1}{Q}\left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x} \right)\\
\frac{1}{x^{2}y + x}\left( \left( -1\right)-\left( 2xy+1\right) \right) =\\
\frac{1}{x\left( xy+1\right) } \cdot \left( -2xy-2\right) \\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}=-\frac{2}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| \mu\right| }=-2\ln{\left| x\right| }\\
\mu\left( x\right)=\frac{1}{x^2}}\)

[fluffiq]

Nie tego czynnika całkującego szukasz

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{P}\left( \frac{ \partial Q}{ \partial x}- \frac{ \partial P}{ \partial y} \right) \mbox{d}y\\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{Q}\left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x} \right) \mbox{d}x \\}\)

Próbuj najpierw czynników zależnych od jednej zmiennej

\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)


\(\displaystyle{ P=2x^{2} - y \\
Q=x^{2}y + x\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=-1\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x}=2xy+1\\
\frac{1}{Q}\left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x} \right)\\
\frac{1}{x^{2}y + x}\left( \left( -1\right)-\left( 2xy+1\right) \right) =\\
\frac{1}{x\left( xy+1\right) } \cdot \left( -2xy-2\right) \\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}=-\frac{2}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| \mu\right| }=-2\ln{\left| x\right| }\\
\mu\left( x\right)=\frac{1}{x^2}}\)

I teraz nie wiem co dalej. Przemnożyć równanie podstawowe i?

[Mariusz M]

Tak mnożysz równanie przez znaleziony czynnik a następnie

Rozwiązujesz układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial F}{ \partial x} = P \\ \frac{ \partial F}{ \partial y} = Q \end{cases}}\)


wtedy \(\displaystyle{ F\left( x,y\right)=C}\)

będzie rozwiązaniem równania w postaci uwikłanej

[fluffiq]

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y} = -\frac{1}{x^2} \end}\)


1. \(\displaystyle{ \frac{ \partial U} { \partial x} = -2 + \frac{y}{x^2}}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{ \partial U}{ \partial x} = y + \frac{1}{x}}\)

Liczę całkę ze względu na y z równania 2.

\(\displaystyle{ U(x,y) = \int y+\frac{1}{x} \mbox{d}y = \frac{y^{2}}{2} + \frac{y}{2} + C(x)}\)

i teraz liczę pochodna czastkowa i co robię dalej?

\(\displaystyle{ \frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x} =}\) ?-- 30 lis 2018, o 22:52 --\(\displaystyle{ U(x,y) = \int y+\frac{1}{x} \mbox{d}y = \frac{y^{2}}{2} + \frac{y}{2x} + C(x)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x} = \frac{-1}{2} \cdot x^{-2} \cdot y + C'(x)}\)

i teraz powinienem porównać z :

[Mariusz M]

Porównujesz to co dostałeś z różniczkowania z twoją funkcją \(\displaystyle{ P\left( x,y\right)}\)

\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)

Nie pomnożyłeś poprawnie równania przez czynnik całkujący

Równanie po przemnożeniu przez czynnik całkujący wygląda tak

\(\displaystyle{ \left( 2 - \frac{y}{x^{2}} \right) \mbox{d}x + \left( y + \frac{1}{x}\right) \mbox{d}y = 0}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial U}{ \partial x} = P \\ \frac{ \partial U}{ \partial y} = Q \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ \int{\left( y+\frac{1}{x}\right) \mbox{d}y } = \frac{y^{2}}{2}+\frac{y}{x}+C\left( x\right)}\)

\(\displaystyle{ -\frac{y}{x^{2}}+C'\left( x\right)=P\\
-\frac{y}{x^{2}}+C'\left( x\right)=2-\frac{y}{x^{2}}\\
C'\left( x\right)=2\\
C\left( x\right)=2x\\
U\left( x,y\right)=\frac{y^{2}}{2}+\frac{y}{x}+2x\\}\)