ciąg rekurencyjny
-
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
ciąg rekurencyjny
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_1=a_2=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{1}{n^2}a_n}\). Sprawdź czy granica ciągu jest liczba wymierną.
-
- Użytkownik
- Posty: 7936
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: ciąg rekurencyjny
Znajdujemy wyraz ogólny ciągu \(\displaystyle{ ( a_{n}),}\) jako rozwiązanie równania rekurencyjnego
o równaniu charakterystycznym \(\displaystyle{ x^2 - x - \frac{1}{n^2}=0, \ \ n> 2,}\) którego pierwiastkami są:
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}, \ \ \beta = \frac{1 -\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= \left(\frac{1 +\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}\right)^{n} + \left(\frac{1 -\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}\right)^{n}}\)
Pozostaje wykazać, że ta granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = 1}\) jest liczbą wymierną.
o równaniu charakterystycznym \(\displaystyle{ x^2 - x - \frac{1}{n^2}=0, \ \ n> 2,}\) którego pierwiastkami są:
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}, \ \ \beta = \frac{1 -\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= \left(\frac{1 +\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}\right)^{n} + \left(\frac{1 -\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}\right)^{n}}\)
Pozostaje wykazać, że ta granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = 1}\) jest liczbą wymierną.
Ostatnio zmieniony 2 gru 2018, o 10:01 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: ciąg rekurencyjny
janusz47, przecież \(\displaystyle{ n}\) jest zmienne, nie można do czegoś takiego stosować teorii rekurencji o stałych współczynnikach. Poza tym ta granica z całą pewnością nie wynosi \(\displaystyle{ 1}\), ciąg jest niemalejący, a już \(\displaystyle{ a_3=2}\).
Przypuszczam, że granicą tego ciągu jest \(\displaystyle{ 3}\), ale nie udało mi się tego jeszcze udowodnić.
Przypuszczam, że granicą tego ciągu jest \(\displaystyle{ 3}\), ale nie udało mi się tego jeszcze udowodnić.
-
- Użytkownik
- Posty: 7936
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
ciąg rekurencyjny
Premislav
Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest
\(\displaystyle{ c\left(\frac{1 +\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}\right)^{n} + d \left(\frac{1 -\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}\right)^{n}}\)
Stałe \(\displaystyle{ c, d}\) określamy z warunku z \(\displaystyle{ a_{1}= a_{2} = 1.}\) Po otrzymaniu rozwiązania szczególnego obliczamy granicę ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}).}\)
Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest
\(\displaystyle{ c\left(\frac{1 +\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}\right)^{n} + d \left(\frac{1 -\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}{2}\right)^{n}}\)
Stałe \(\displaystyle{ c, d}\) określamy z warunku z \(\displaystyle{ a_{1}= a_{2} = 1.}\) Po otrzymaniu rozwiązania szczególnego obliczamy granicę ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}).}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Re: ciąg rekurencyjny
Premislav, próbowałeś w excelu obliczyć kolejne elementy? Ciąg przekracza 3 i jest rosnący, więc granicą na pewno nie będzie 3.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: ciąg rekurencyjny
robertm19, słusznie, dzięki za zwrócenie uwagi, policzyłem teraz trochę wyrazów w gnumericu i wyrazy ciągu przekraczają nawet \(\displaystyle{ 3,2}\).
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Re: ciąg rekurencyjny
Co do prób pokazania zbieżności (choć nie trzeba tego robić), widać, że fajnie by było ograniczyć indukcyjnie \(\displaystyle{ a_n}\) przez sumy częściowe jakiegoś szeregu \(\displaystyle{ \sum b_k}\), który jest zbieżny.
Widać, że tempo \(\displaystyle{ b_k=\frac{a}{k^2}}\) jest trochę za słabe na spokojne użycie indukcji tutaj (jak ktoś spróbuje, zobaczy, gdzie jest problem przy "prostej" indukcji). Więc trzeba trochę wzmocnić indukcję.
Ale jak weźmiemy szereg nieco wolniej zbieżny, to zaraz pojawia się całkiem ładny naturalny kandydat: \(\displaystyle{ \sum \frac{4\sqrt{k}}{k^2}}\) (czemu 4? - mając policzone trochę wyrazów ciągu mamy przeczucie \(\displaystyle{ a_n<4}\), więc czemu by nie?).
Można więc np. pokazać indukcyjnie nierówność \(\displaystyle{ a_{n+2} \le \sum_{k=1}^n \frac{4\sqrt{k}}{k^2}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\), co wymaga trochę pracy, ale zostawiam to dla ciekawych.
A teraz do głównego pytania w zadaniu... no cóż, nie wiem
Widać, że tempo \(\displaystyle{ b_k=\frac{a}{k^2}}\) jest trochę za słabe na spokojne użycie indukcji tutaj (jak ktoś spróbuje, zobaczy, gdzie jest problem przy "prostej" indukcji). Więc trzeba trochę wzmocnić indukcję.
Ale jak weźmiemy szereg nieco wolniej zbieżny, to zaraz pojawia się całkiem ładny naturalny kandydat: \(\displaystyle{ \sum \frac{4\sqrt{k}}{k^2}}\) (czemu 4? - mając policzone trochę wyrazów ciągu mamy przeczucie \(\displaystyle{ a_n<4}\), więc czemu by nie?).
Można więc np. pokazać indukcyjnie nierówność \(\displaystyle{ a_{n+2} \le \sum_{k=1}^n \frac{4\sqrt{k}}{k^2}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\), co wymaga trochę pracy, ale zostawiam to dla ciekawych.
A teraz do głównego pytania w zadaniu... no cóż, nie wiem
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: ciąg rekurencyjny
Dołożę jeszcze swoje trzy grosze:
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+ \frac{1}{n^2}a_{n}}\)
obłóżmy to sumą:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+2}x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+1}x^n+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2}a_{n}x^n}\)
przekształćmy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}= \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2}a_{n}x^n}\)
\(\displaystyle{ S= \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}\left( S-x-x^2\right)= \frac{1}{x}\left( S-x\right)+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{a_{n}}{n^2}x^n /'}\)
Zróżniczkujmy to i pomnóżmy przez \(\displaystyle{ x}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{S'}{x}- \frac{2S}{x^2}+ \frac{1}{x}=S'x-S+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{a_{n}}{n}x^n}\)
Zróżniczkujmy jeszcze raz:
\(\displaystyle{ \frac{S''x-S'}{x^4}- \frac{2S'x^2-4Sx}{x^4}- \frac{1}{x^4}=S''x+S'-S'+ \frac{1}{x}\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ (x^2-x^4)S''-3xS'+(4-x^2)S=x}\)
Może się ktoś z tym równaniem zmierzy...
sorry za pomyłki...
\(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+ \frac{1}{n^2}a_{n}}\)
obłóżmy to sumą:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+2}x^n= \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+1}x^n+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2}a_{n}x^n}\)
przekształćmy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}= \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2}a_{n}x^n}\)
\(\displaystyle{ S= \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}\left( S-x-x^2\right)= \frac{1}{x}\left( S-x\right)+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{a_{n}}{n^2}x^n /'}\)
Zróżniczkujmy to i pomnóżmy przez \(\displaystyle{ x}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{S'}{x}- \frac{2S}{x^2}+ \frac{1}{x}=S'x-S+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{a_{n}}{n}x^n}\)
Zróżniczkujmy jeszcze raz:
\(\displaystyle{ \frac{S''x-S'}{x^4}- \frac{2S'x^2-4Sx}{x^4}- \frac{1}{x^4}=S''x+S'-S'+ \frac{1}{x}\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ (x^2-x^4)S''-3xS'+(4-x^2)S=x}\)
Może się ktoś z tym równaniem zmierzy...
sorry za pomyłki...