Mam problem z rozwiązaniem równania Clairauta, czy jest mi w stanie ktoś z nim pomoć?
\(\displaystyle{ x = y'^3 + y'}\)
Rozwiązać równanie Clairauta
-
maritka210
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 31 razy
Rozwiązać równanie Clairauta
Ostatnio zmieniony 2 gru 2018, o 12:12 przez maritka210, łącznie zmieniany 1 raz.
-
szw1710
Re: Rozwiązać równanie Ricattiego
To nie jest równanie Riccatiego.
Różniczkujemy względem \(\displaystyle{ x}\) otrzymując \(\displaystyle{ 3(y')^2y''+y''=1.}\) Wstawiając nową funkcję niewiadomą \(\displaystyle{ u=y'}\) dochodzimy do \(\displaystyle{ 3u^2u'+u'=1,}\) a to jest równanie o zmiennych rozdzielonych.
Różniczkujemy względem \(\displaystyle{ x}\) otrzymując \(\displaystyle{ 3(y')^2y''+y''=1.}\) Wstawiając nową funkcję niewiadomą \(\displaystyle{ u=y'}\) dochodzimy do \(\displaystyle{ 3u^2u'+u'=1,}\) a to jest równanie o zmiennych rozdzielonych.
-
maritka210
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 31 razy
Re: Rozwiązać równanie Clairauta
\(\displaystyle{ x = y'^3 + y'}\)
\(\displaystyle{ 3(y')^2y''+y''=1.}\)
\(\displaystyle{ u=y'}\)
\(\displaystyle{ 3u^2u'+u'=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx} + 3 \frac{du}{dx} u^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx} = \frac{1}{3u^2 + 1} / \cdot (3u^2 +1 )}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx}( 3u^2 + 1) = 1}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{dx} (3u^2 + 1)dx = \int_{}^{} 1dx}\)
\(\displaystyle{ u^3 + u = x +C1}\)
\(\displaystyle{ 3(y')^2y''+y''=1.}\)
\(\displaystyle{ u=y'}\)
\(\displaystyle{ 3u^2u'+u'=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx} + 3 \frac{du}{dx} u^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx} = \frac{1}{3u^2 + 1} / \cdot (3u^2 +1 )}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx}( 3u^2 + 1) = 1}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{dx} (3u^2 + 1)dx = \int_{}^{} 1dx}\)
\(\displaystyle{ u^3 + u = x +C1}\)
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5744
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Re: Rozwiązać równanie Clairauta
I co dalej...
doszło do zapętlenia...
a różowo nie będzie bo rozwiązanie równania trzeciego stopnia:
\(\displaystyle{ r=y'}\)
\(\displaystyle{ r^3+r-x-C=0}\)
Tu będzie dwa zespolone i jedno rzeczywiste, które niestety nie wygląda ciekawie
Z pomocą wolframa wygląda to tak:
\(\displaystyle{ y'=0,381571 \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }- \frac{0,87358}{ \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }}}\)
\(\displaystyle{ y= \int_{}^{} \left[0,381571 \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }- \frac{0,87358}{ \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }} \right] dx}\)
doszło do zapętlenia...
a różowo nie będzie bo rozwiązanie równania trzeciego stopnia:
\(\displaystyle{ r=y'}\)
\(\displaystyle{ r^3+r-x-C=0}\)
Tu będzie dwa zespolone i jedno rzeczywiste, które niestety nie wygląda ciekawie
Z pomocą wolframa wygląda to tak:
\(\displaystyle{ y'=0,381571 \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }- \frac{0,87358}{ \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }}}\)
\(\displaystyle{ y= \int_{}^{} \left[0,381571 \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }- \frac{0,87358}{ \sqrt[3]{9x+1,73205 \sqrt{27x^2+4} }} \right] dx}\)