Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu.
wartości amplitud wymuszonych drgań harmonicznych są równe dla dwóch częstości siły wymuszającej: \(\displaystyle{ 400rad/s}\) oraz \(\displaystyle{ 600rad/s}\). proszę wyznaczyć częstość omega rezonansowej, dla której amplituda drgań wymuszonych osiągnie maksymalną wartość.
Ampituda drgań wymuszanych
-
ScriptNewbie
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 17 lis 2018, o 18:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gliwice
- Podziękował: 2 razy
Ampituda drgań wymuszanych
Ostatnio zmieniony 30 lis 2018, o 15:05 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wartości wielkości fizycznych także zapisujemy z użyciem LateXa.
Powód: Wartości wielkości fizycznych także zapisujemy z użyciem LateXa.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Ampituda drgań wymuszanych
Dane
\(\displaystyle{ \omega_{1}= 400 \frac{rad}{s},}\)
\(\displaystyle{ \omega_{2} = 600 \frac{rad}{s}.}\)
Obliczyć
\(\displaystyle{ \omega_{rez}}\) - częstotliwość rezonansową.
Rozwiązanie
Z treści zadania zachodzi równość:
\(\displaystyle{ A^2(\omega_{1}) = \frac{f^2_{0}}{(\omega^2_{0} -\omega^2_{1})^2 +4\nu^2\omega^2_{1}}= \frac{f^2_{0}}{(\omega^2_{0} -\omega^2_{2})^2 +4\nu^2\omega^2_{2}} = A^2(\omega_{2}) \ \ (1)}\)
Amplituda drgań wymuszonych osiąga maksimum, gdy jej mianownik osiąga minimum.
Z \(\displaystyle{ (1)}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ (\omega^2_{0} -\omega^2_{1})^2 +4\nu^2\omega^2_{1} = (\omega^2_{0} -\omega^2_{2})^2 +4\nu^2\omega^2_{2}\ \ (2)}\)
Podstawiamy w \(\displaystyle{ (2)}\) wartości liczbowe częstości \(\displaystyle{ \omega_{1}, \omega_{2}.}\)
\(\displaystyle{ [ \omega^2_{0} -400^2]^2 + 4\cdot 400^2\nu^2 = [\omega^2_{0} -600^2]^2 + 4\cdot 600^2\nu^2}\)
\(\displaystyle{ \omega^4_{0}- 2\cdot 400^2\omega^2_{0}+400^4 +4\cdot 400^2\nu^2= \omega^4_{0}-2\cdot 600^2\omega^2_{0}+600^4 +4\cdot 600^2\nu^2}\)
\(\displaystyle{ 72\cdot 10^4\omega^2_{0}-32 \cdot 10^4\omega^2_{0}+64\cdot 10^4 \nu^2-144\cdot 10^4\nu^2 = 1296\cdot 10^8 - 256\cdot 10^8}\)
\(\displaystyle{ 40\cdot 10^4\omega^2_{0} - 80\cdot 10^4\nu^2 = 1040\cdot 10^8 |: 40\cdot 10^4}\)
\(\displaystyle{ \omega^2_{0} - 2\nu^2 = 26\cdot 10^4}\)
\(\displaystyle{ \omega^2_{rez} = 26\cdot 10^4}\)
\(\displaystyle{ \omega_{rez}= 100\sqrt{26} \ \ \frac{rad}{s} \simeq 510 \ \ \frac{rad}{s}}\)
\(\displaystyle{ \omega_{1}= 400 \frac{rad}{s},}\)
\(\displaystyle{ \omega_{2} = 600 \frac{rad}{s}.}\)
Obliczyć
\(\displaystyle{ \omega_{rez}}\) - częstotliwość rezonansową.
Rozwiązanie
Z treści zadania zachodzi równość:
\(\displaystyle{ A^2(\omega_{1}) = \frac{f^2_{0}}{(\omega^2_{0} -\omega^2_{1})^2 +4\nu^2\omega^2_{1}}= \frac{f^2_{0}}{(\omega^2_{0} -\omega^2_{2})^2 +4\nu^2\omega^2_{2}} = A^2(\omega_{2}) \ \ (1)}\)
Amplituda drgań wymuszonych osiąga maksimum, gdy jej mianownik osiąga minimum.
Z \(\displaystyle{ (1)}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ (\omega^2_{0} -\omega^2_{1})^2 +4\nu^2\omega^2_{1} = (\omega^2_{0} -\omega^2_{2})^2 +4\nu^2\omega^2_{2}\ \ (2)}\)
Podstawiamy w \(\displaystyle{ (2)}\) wartości liczbowe częstości \(\displaystyle{ \omega_{1}, \omega_{2}.}\)
\(\displaystyle{ [ \omega^2_{0} -400^2]^2 + 4\cdot 400^2\nu^2 = [\omega^2_{0} -600^2]^2 + 4\cdot 600^2\nu^2}\)
\(\displaystyle{ \omega^4_{0}- 2\cdot 400^2\omega^2_{0}+400^4 +4\cdot 400^2\nu^2= \omega^4_{0}-2\cdot 600^2\omega^2_{0}+600^4 +4\cdot 600^2\nu^2}\)
\(\displaystyle{ 72\cdot 10^4\omega^2_{0}-32 \cdot 10^4\omega^2_{0}+64\cdot 10^4 \nu^2-144\cdot 10^4\nu^2 = 1296\cdot 10^8 - 256\cdot 10^8}\)
\(\displaystyle{ 40\cdot 10^4\omega^2_{0} - 80\cdot 10^4\nu^2 = 1040\cdot 10^8 |: 40\cdot 10^4}\)
\(\displaystyle{ \omega^2_{0} - 2\nu^2 = 26\cdot 10^4}\)
\(\displaystyle{ \omega^2_{rez} = 26\cdot 10^4}\)
\(\displaystyle{ \omega_{rez}= 100\sqrt{26} \ \ \frac{rad}{s} \simeq 510 \ \ \frac{rad}{s}}\)