Nie rozumiem dwóch rzeczy w rozwiązaniu następującego zadania.
Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) przestrzeń metryczna. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ O \cap \cl (A) \subset \cl (O \cap A)}\), dla każdego \(\displaystyle{ A \subset X}\) , to \(\displaystyle{ O}\) jest zbiorem otwartym.
Mam następujące rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ A=X \setminus O}\) .
Oznaczmy zbiór \(\displaystyle{ \partial O= O \setminus \Int O}\) tzn. \(\displaystyle{ O}\) jest otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \partial O = \emptyset}\). Jeśli \(\displaystyle{ A=X \setminus O}\), to \(\displaystyle{ O \cap A = \emptyset}\), oraz \(\displaystyle{ \cl (O \cap A) =\emptyset}\)
Skoro zachodzi warunek \(\displaystyle{ O \cap \cl(A) \subset \cl(O \cap A)}\) ,to musi być \(\displaystyle{ O \cap \cl(A)=\emptyset}\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ \partial O \subset \cl(A)}\) (1) i \(\displaystyle{ \partial O \subset O}\). Zatem musi być \(\displaystyle{ \partial O =\emptyset}\), w takim przypadku \(\displaystyle{ O}\), jest otwarty. q.e.d.
Pytania są następujące:
Skąd wiemy, że (1) zachodzi?
W jaki sposób rozważając dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ O}\) udowadniamy tą zależność dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Wykazanie, że jesli to jest zbiorem otwartym
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Wykazanie, że jesli to jest zbiorem otwartym
Ostatnio zmieniony 27 lis 2018, o 19:05 przez Unforg1ven, łącznie zmieniany 6 razy.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykazanie, że jesli to jest zbiorem otwartym
Wykazać, że jeśli\(\displaystyle{ O \cap \cl (A) \subset \cl O (\cap
A)}\), to dla każdego \(\displaystyle{ A}\) , \(\displaystyle{ O}\) jest zbiorem otwartym.
Naucz się poprawnie formułować myśli, to pogadamy, ponieważ w tym przypadku robi to dużą różnicę. Może ktoś ma ochotę domyślać się, co poeta miał na myśli, ja nie za bardzo.W jaki sposób rozważając dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ O}\) udowadniamy tą zależność dla każdego zbioru takiego zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Na początek proponuję przepisać słowo w słowo polecenia, nie zmieniając składni zdania, kolejnosci wyrazów, w ogóle niczego (to umożliwi, być może, komunikację w tym konkretnym przypadku), a w sensie ogólniejszym warto przejrzeć sformułowania twierdzeń i dowody w książkach/skryptach.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazanie, że jesli to jest zbiorem otwartym
Źle napisałem powinno być \(\displaystyle{ A \subset X}\), to \(\displaystyle{ O}\) jest zbiorem otwartym, a reszta jest bez zmian.Premislav pisze:Wykazać, że jeśli\(\displaystyle{ O \cap \cl (A) \subset \cl O (\cap
A)}\), to dla każdego \(\displaystyle{ A}\) , \(\displaystyle{ O}\) jest zbiorem otwartym.Naucz się poprawnie formułować myśli, to pogadamy, ponieważ w tym przypadku robi to dużą różnicę. Może ktoś ma ochotę domyślać się, co poeta miał na myśli, ja nie za bardzo.W jaki sposób rozważając dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ O}\) udowadniamy tą zależność dla każdego zbioru takiego zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Na początek proponuję przepisać słowo w słowo polecenia, nie zmieniając szyku zdań, a w sensie ogólniejszym warto przejrzeć sformułowania twierdzeń i dowody w książkach/skryptach.
A pytanie mam takie, jak rozważając jeden wybrany zbiór udowadniamy, że dla każdego zbioru tak zachodzi.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykazanie, że jesli to jest zbiorem otwartym
Tak naprawdę jak to czytam, to robi się coraz gorzej.
Co to za głupoty? Mógłbym spytać, skąd masz to rozwiązanie?
To jest bardzo niedobre oznaczenie, ponieważ \(\displaystyle{ \partial O}\) zazwyczaj oznacza brzeg zbioru \(\displaystyle{ O}\) (różnicę mnogościową jego domknięcia i wnętrza). Oczywiście, każdy może sobie cokolwiek oznaczać, jak mu się podoba, o ile te oznaczenia opisze (jak tutaj), ale nie polecam np. w zadaniu z topologii oznaczać przez \(\displaystyle{ \cl A}\) wnętrza zbioru \(\displaystyle{ A}\), zaś przez \(\displaystyle{ \Int A}\) domknięcia zbioru \(\displaystyle{ A}\), chyba z wiadomych przyczyn.Oznaczmy zbiór \(\displaystyle{ \partial O= X \setminus O}\)
(pogrubienie moje)Oznaczmy zbiór \(\displaystyle{ \partial O= X \setminus O}\) tzn. \(\displaystyle{ O}\) jest otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \partial O = \emptyset}\)
Co to za głupoty? Mógłbym spytać, skąd masz to rozwiązanie?
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazanie, że jesli to jest zbiorem otwartym
O jezu znowu źle napisałem.
Przepraszam, powinno być
\(\displaystyle{ \partial O= O \setminus \Int O}\)
Mea culpa.
Przepraszam, powinno być
\(\displaystyle{ \partial O= O \setminus \Int O}\)
Mea culpa.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykazanie, że jesli to jest zbiorem otwartym
No ja nie wiem, równoważność
\(\displaystyle{ O}\) jest otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \partial O=\emptyset}\) wskazuje raczej na to, że
\(\displaystyle{ \partial O={\red O}\setminus \Int O}\)
czy też coś w tym stylu…
\(\displaystyle{ O}\) jest otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \partial O=\emptyset}\) wskazuje raczej na to, że
\(\displaystyle{ \partial O={\red O}\setminus \Int O}\)
czy też coś w tym stylu…
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazanie, że jesli to jest zbiorem otwartym
Tak oczywiście, już to poprawiłem.Premislav pisze:No ja nie wiem, równoważność
\(\displaystyle{ O}\) jest otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \partial O=\emptyset}\) wskazuje raczej na to, że
\(\displaystyle{ \partial O={\red O}\setminus \Int O}\)
czy też coś w tym stylu…