[Algebra] Układ Równań

[Grunwald1410]

Rozwiązać układ równań.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+z=y(x+y)\\x+y=z(y+z)\\y+z=x(x+z) \end{array}}\)

[Benny01]

Dla \(\displaystyle{ x+y=0}\), \(\displaystyle{ x+z=0}\), \(\displaystyle{ y+z=0}\) dostajemy, że trójka \(\displaystyle{ \left( 0,0,0\right)}\) spełnia układ równań.
Dla \(\displaystyle{ x+y \neq 0}\), \(\displaystyle{ x+z \neq 0}\), \(\displaystyle{ y+z \neq 0}\) pomnóżmy przez siebie równania.
Dostaniemy \(\displaystyle{ (x+z)(x+y)(y+z)=xyz(x+y)(y+z)(x+z)}\), możemy podzielić przez \(\displaystyle{ (x+z)(x+y)(y+z)}\).
Ostatecznie mamy \(\displaystyle{ xyz=1}\), a takich trójek jest nieskończenie wiele.

[piasek101]

Ale tylko niektóre z tych trójek (np: \(\displaystyle{ (1;1;1)}\)) spełnią układ.

To, że te zera i jedynki są rozwiązaniem było można zauważyć bez żadnych przekształceń - ale jakie są (bądź nie ma) inne pozostaje do rozstrzygnięcia.

[arek1357]

To rozstrzygnę:

wiadomo, że:

\(\displaystyle{ xyz=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+z=xy+y^2\\ x+y=yz+z^2\\y+z=xz+x^2\end{cases}}\)

dodajmy stronami:

i mamy:

\(\displaystyle{ 2(x+y+z)=xy+xz+yz+x^2+y^2+z^2=xy+xz+yz+(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)}\)

lub:

(*)\(\displaystyle{ xy+xz+yz=(x+y+z)^2-2(x+y+z)}\)

przepiszmy jeszcze raz:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+z=xy+y^2/ \cdot xy\\ x+y=yz+z^2/ \cdot yz\\y+z=xz+x^2/ \cdot xz\end{cases}}\)


otrzymamy z uwagi na to, że:

\(\displaystyle{ xyz=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2y+1=x^2y^2+xy^3 \\ y^2z+1=y^2z^2+yz^3 \\xz^2+1=x^2z^2+zx^3 \end{cases}}\)

przepiszmy jeszcze raz:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+z=xy+y^2/ \cdot yz\\ x+y=yz+z^2/ \cdot zx\\y+z=xz+x^2/ \cdot xy\end{cases}}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1+yz^2=y+y^3z \\ 1+x^2z=z+xz^3 \\1+xy^2=x+x^3y \end{cases}}\)

przepiszmy powyższe:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2y+1=x^2y^2+xy^3 \\ y^2z+1=y^2z^2+yz^3 \\xz^2+1=x^2z^2+zx^3 \end{cases}}\)

dodajmy te dwie ostatnie stronami:

otrzymamy:

\(\displaystyle{ 6+ \sum_{}^{} x^2y=\left( x+y+z\right) + \sum_{}^{} x^2y^2 + \sum_{}^{} xy^3}\)

To są sumy symetryczne i można je przekształcić:

\(\displaystyle{ 3+(x+y+z)(xy+xz+yz)=x+y+z+(xy+xz+yz)^2-2xyz(x+y+z)+(xy+xz+yz)\left[ (x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)\right] -xyz(x+y+z)}\)

podstawiając:

\(\displaystyle{ x+y+z=a}\)

\(\displaystyle{ xy+xz+yz=b}\)

\(\displaystyle{ xyz=1}\)

otrzymamy:

(**)\(\displaystyle{ 3+ab=a^2b-b^2-2a}\)

biorąc pod uwagę jeszcze (*), otrzymamy:

\(\displaystyle{ b=a^2-2a}\)

podstawiając do (**) otrzymamy:

\(\displaystyle{ a^3-2a^2-2a-3=0}\)

otrzymamy jedno rozwiązanie:

\(\displaystyle{ a=3}\)

z tego:

\(\displaystyle{ b=3}\)

mamy więc układ równań:

\(\displaystyle{ x+y+z=3}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=3\\xy+xz+yz=3 \\ xyz=1 \end{cases}}\)

przekształcając otrzymamy:

\(\displaystyle{ xy+(3-x-y)(x+y)=3}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{z}+z(3-z)=3}\)

lub:

\(\displaystyle{ z^3-3z^2+3z-1=0}\)

rozwiązanie tylko:

\(\displaystyle{ z=1}\)

mamy więc:

\(\displaystyle{ x+y=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=2\\ xy=1\end{cases}}\)

po podstawieniu mamy:

\(\displaystyle{ x(2-x)=1}\)

lub:

\(\displaystyle{ x^2-2x+1=0}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^2=0}\)

czyli:

\(\displaystyle{ x=1}\)

a więc:

\(\displaystyle{ y=2-x=2-1=1}\)

mamy więc jedyne niezerowe rozwiązanie:

\(\displaystyle{ (x,y,z)=(1,1,1)}\)

jeszcze dodam, że jeżeli np:

\(\displaystyle{ z=0}\)

a pozostałe nie dostajemy sprzeczność nie może być tylko jedna niewiadoma zerowa...

albo wszystkie zerowe, albo żadna...

cnd...

[Premislav]

Jeżeli ktoś byłby zainteresowany pomysłem na krótsze rozwiązanie (no offence, arku), to dodam, że takowy pojawił się już w tym wątku: 435492.htm
(post Zahiona).

[arek1357]

Jest dziwna prawidłowość między tego typu układami równań a przyznawanymi banami...

Ten kto zadaje temat z tego typu równaniami dostaje bana...

Ale to rozwiązanie z wektorami do mnie całkowicie nie przemawia...

[xpg]

To jest zadanie 5 z aktualnej edycji Olimpiady Matematycznej. Wątek został założony wtedy, kiedy konkurs jeszcze trwał. W tym samym dniu ktoś założył taki wątek na AOPSie. Czyli ktoś tu próbował oszukiwać.