Znajdź wyrażenie określające masę

[fluffiq]

Zbiornik początkowo zawiera \(\displaystyle{ 120}\) litrów czystej wody. Mieszanina zawierająca
\(\displaystyle{ 25}\) gramów soli w \(\displaystyle{ 1}\)-litrze wlewana jest do zbiornika z prędkością \(\displaystyle{ 2 \text{litrow}/\text{min}}\), błyskawicznie wymieszana mieszanina opuszcza zbiornik z tą samą prędkością.

Znajdź wyrażenie określające masę \(\displaystyle{ m(t)}\) soli w zbiorniku w dowolnym czasie \(\displaystyle{ t}\).
Ponadto oblicz

\(\displaystyle{ \lim_{t \rightarrow \infty } m(t).}\)

[fluffiq]

\(\displaystyle{ m'(t) = v \frac{m_{1}}{1} - v\frac{m(t)}{V}}\)

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych i po rozdzieleniu zmiennych
otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{dm}{Vm_1 -m} = \frac{v}{V}dt}\)

Obustronnie całkujemy i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ -ln|Vm_1 - m | = \frac{v}{V}t + lnC}\)


Przekształcamy i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ m(t) = Vm_1 - \frac{1}{C}e^{\frac{vt}{V}}\)

Obliczamy warunek poczatkowy \(\displaystyle{ m(0) = m_0}\), obliczamy stała\(\displaystyle{ C = \frac{1}{Vm_1-m_0}}\)

\(\displaystyle{ m(t) = Vm_1 - (Vm_1 - m_0)e^{\frac{vt}{V}}\)
Podstawiamy zmienne:


\(\displaystyle{ m_0 = 0.025}\)kg

\(\displaystyle{ m_1 = \frac{0.025}{120} = 0.00020833333}\) gdzie, \(\displaystyle{ m_1}\) oznacza ile [kg] soli przypada na 1 litr roztworu

\(\displaystyle{ V = 120}\)

\(\displaystyle{ v = 2\frac{m}{s}}\)

\(\displaystyle{ m(t) = 120*0.00020833333 - (120*0.00020833333 - 0.025)e^{\frac{2t}{120}}\)

\(\displaystyle{ m(t) = 0.0249999996 +0,00000000040000000187113e^{\frac{t}{60}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{t \rightarrow \infty } m(t) = 0.0249999996 +0,00000000040000000187113e^{\frac{t\rightarrow\infty}{60} = \infty}\) ?