Oblicz granice

[problem_matematyczny]

Witam zadanie brzmi:
Oblicz granicę:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}}\)

Chciałem to zrobić, przez szacowanie z trzech ciągów, bo innego pomysłu nie mam, ale chyba nie wychodzi.

bo szacuje \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}} \le \sqrt[n]{ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}} = \sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{n ^{4} }}\)

i teraz, \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty} \sqrt[n]{4} \rightarrow 1}\) ale \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n ^{4} }}\) nie wiem ile przez te potęge, do\(\displaystyle{ \rightarrow 1}\) ?

Czyli odpowiedzią jest 1??
Proszę o poprawę jeżeli wystąpił błąd

[a4karo]

Takie szacowanie nie jest niczym uzasadnione. Funkcje wykładnicze rosną szybciej niż potegowe.

[Psiaczek]

dla dostatecznie dużych n

\(\displaystyle{ 4 ^{n} \le 3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4} \le 4 ^{n}+4 ^{n} +4 ^{n} + 4 ^{n}}\)

[problem_matematyczny]

skoro wykładnicza szybciej rośnie, to powinienem szacować z od góry przez\(\displaystyle{ \sqrt[n]{4 ^{n} +4 ^{n} +4 ^{n}+4 ^{n}}}\)??
wtedy wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{ 4^{n} }}\) granica pierwszego = 1 , a drugiego [ 4??
szacuje, bo chce skorzystać z twierdzenia o 3 ciagach-- 22 lis 2018, o 21:32 --czyli granica \(\displaystyle{ sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}
ightarrow 4}\) tak?

[Psiaczek]

czyli granica \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}} \rightarrow 4}\) tak?

zaraz cię tęgie umysły tego forum opieprzą za taki zapis ale ogólnie dobrze kombinujesz

[problem_matematyczny]

A mógłbyś jeszcze zerknąć, czy granicą:

\(\displaystyle{ a _{n}= n^{2} \left( \frac{ \sqrt{n ^{2}+1 }- \sqrt{n ^{2}-1 } }{n+1} \right)}\)

granicą tego po długich przekształceniach jest 1 ?

-- 22 lis 2018, o 21:40 --

zdaje sobie sprawe, że nie jest to idealnie napisane, ale ważniejsza ejst dla mnie informacja, czy dobrze rozumuje ))

[Psiaczek]

W tym przypadku granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\) tak jak sugerujesz.

[problem_matematyczny]

Super, chyba łapie już granice, a pomożesz mi jeszcze tylko przy jednym : co mam zrobić z takim fantem, jak po przekształceniach mam:

\(\displaystyle{ a _{n}= \left( \frac{n ^{2}-1 }{n ^{2} +2n-1 } \right)^{n+1}}\) i to po moich przekształceniach wyszło \(\displaystyle{ -e ^{0} =1}\)
???

[piasek101]

wyszło \(\displaystyle{ -e ^{0} =1}\)
???

Tak nie wyjdzie - pokaż jak robiłeś.

[Psiaczek]

Tak nie wyjdzie - pokaż jak robiłeś.

7 lat mnie nie było na tym forum a piasek nic się nie zmienił Istotnie tak nie wyjdzie, wydaje mi się że prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ e^{-2}}\) ale nie mam siły wypisywać rozwiązania

[piasek101]

Ty też się nie zmieniłeś - pomagasz podając (tak tyle wyjdzie).

[problem_matematyczny]

\(\displaystyle{ a _{n}= \left( \frac{n ^{2}-1 }{n ^{2} +2n-1 } \right)^{n+1} = \left( \frac{n ^{2}(1- \frac{1}{n ^{2} }) }{n ^{2}(1+ \frac{2}{n}- \frac{1}{n ^{2} } } \right) ^{n+1}}\)
skracam \(\displaystyle{ n ^{2}}\) ze sobą
\(\displaystyle{ = \frac{(1+ \frac{-1}{n ^{2}) } ^{n+1}}{(1) ^{n+1} }}\)
W mianowniku już nie przepisywałem \(\displaystyle{ + \frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2} }}\) bo one dążą do zera

Dalej zrobiłem by było czytelniej podziele:
Licznik:\(\displaystyle{ [(1+ \frac{-1}{n ^{2} } )^{n ^{2} } ] ^{ \frac{n+1}{n ^{2} } }}\)
i stąd \(\displaystyle{ (1+ \frac{-1}{n ^{2} } )^{n ^{2} \rightarrow e ^{-1}}\) no i to jeszcze jest do potęgi \(\displaystyle{ \frac{n+1}{n ^{2}} = \frac{n(1+ \frac{1}{n} }{n ^{2} } } \rightarrow \frac{1}{n} \rightarrow 0}\)
czyli granica z licznika to \(\displaystyle{ \rightarrow (e ^{-1}) ^{0} = 1}\)
i jeszcze podzielić przez mianownik : \(\displaystyle{ (1) ^{n+1} \rightarrow 1}\)
czyli ostateczna granica to \(\displaystyle{ = 1}\)

-- 22 lis 2018, o 22:40 --

a mozecie spojrzeć gdzie jest błąd ?

[a4karo]

Tam gdzie nie przepisywałes. Nie wolno tak robić

[piasek101]

Niektóre (bo Ci pasowało) ułamki z mianownika dążą do zera, a ten z licznika nie - przecież też dąży do zera.

Mamy \(\displaystyle{ \left(1+\frac{-2}{\frac{n^2+2n-1}{n}}\right)^{n+1}}\)

[Psiaczek]

W mianowniku już nie przepisywałem \(\displaystyle{ + \frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2} }}\) bo one dążą do zera

I wszystko jasne. Tak nie wolno.

Zrób tak (opowiem ci tylko, bo nie mam po długiej przerwie wprawy w latexowaniu piętrowych ułamków):
w liczniku dodaj i odejmij 2n, rozbij na różnicę "1-ułamek" gdzie ten ułamek ma w liczniku \(\displaystyle{ 2n}\)
Zrzuć te \(\displaystyle{ 2n}\) do mianownika (zrób piętrowy ułamek) a potem żongluj wykładnikami to widzę z twojego rozwiązania że w miarę potrafisz.

edit:o właśnie tak jak piasek ci rozpisał