Oblicz granice
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 10 lis 2013, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
Oblicz granice
Witam zadanie brzmi:
Oblicz granicę:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}}\)
Chciałem to zrobić, przez szacowanie z trzech ciągów, bo innego pomysłu nie mam, ale chyba nie wychodzi.
bo szacuje \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}} \le \sqrt[n]{ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}} = \sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{n ^{4} }}\)
i teraz, \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty} \sqrt[n]{4} \rightarrow 1}\) ale \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n ^{4} }}\) nie wiem ile przez te potęge, do\(\displaystyle{ \rightarrow 1}\) ?
Czyli odpowiedzią jest 1??
Proszę o poprawę jeżeli wystąpił błąd
Oblicz granicę:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}}\)
Chciałem to zrobić, przez szacowanie z trzech ciągów, bo innego pomysłu nie mam, ale chyba nie wychodzi.
bo szacuje \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}} \le \sqrt[n]{ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}} = \sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{n ^{4} }}\)
i teraz, \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty} \sqrt[n]{4} \rightarrow 1}\) ale \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n ^{4} }}\) nie wiem ile przez te potęge, do\(\displaystyle{ \rightarrow 1}\) ?
Czyli odpowiedzią jest 1??
Proszę o poprawę jeżeli wystąpił błąd
Ostatnio zmieniony 22 lis 2018, o 22:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \infty.
Powód: Poprawa wiadomości: \infty.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Oblicz granice
dla dostatecznie dużych n
\(\displaystyle{ 4 ^{n} \le 3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4} \le 4 ^{n}+4 ^{n} +4 ^{n} + 4 ^{n}}\)
\(\displaystyle{ 4 ^{n} \le 3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4} \le 4 ^{n}+4 ^{n} +4 ^{n} + 4 ^{n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 10 lis 2013, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
Oblicz granice
skoro wykładnicza szybciej rośnie, to powinienem szacować z od góry przez\(\displaystyle{ \sqrt[n]{4 ^{n} +4 ^{n} +4 ^{n}+4 ^{n}}}\)??
wtedy wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{ 4^{n} }}\) granica pierwszego = 1 , a drugiego [ 4??
szacuje, bo chce skorzystać z twierdzenia o 3 ciagach-- 22 lis 2018, o 21:32 --czyli granica \(\displaystyle{ sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}
ightarrow 4}\) tak?
wtedy wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{ 4^{n} }}\) granica pierwszego = 1 , a drugiego [ 4??
szacuje, bo chce skorzystać z twierdzenia o 3 ciagach-- 22 lis 2018, o 21:32 --czyli granica \(\displaystyle{ sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}
ightarrow 4}\) tak?
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Oblicz granice
zaraz cię tęgie umysły tego forum opieprzą za taki zapis ale ogólnie dobrze kombinujeszproblem_matematyczny pisze:
czyli granica \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}} \rightarrow 4}\) tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 10 lis 2013, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
Oblicz granice
A mógłbyś jeszcze zerknąć, czy granicą:
\(\displaystyle{ a _{n}= n^{2} \left( \frac{ \sqrt{n ^{2}+1 }- \sqrt{n ^{2}-1 } }{n+1} \right)}\)
granicą tego po długich przekształceniach jest 1 ?
-- 22 lis 2018, o 21:40 --
zdaje sobie sprawe, że nie jest to idealnie napisane, ale ważniejsza ejst dla mnie informacja, czy dobrze rozumuje ))
\(\displaystyle{ a _{n}= n^{2} \left( \frac{ \sqrt{n ^{2}+1 }- \sqrt{n ^{2}-1 } }{n+1} \right)}\)
granicą tego po długich przekształceniach jest 1 ?
-- 22 lis 2018, o 21:40 --
zdaje sobie sprawe, że nie jest to idealnie napisane, ale ważniejsza ejst dla mnie informacja, czy dobrze rozumuje ))
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 10 lis 2013, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
Oblicz granice
Super, chyba łapie już granice, a pomożesz mi jeszcze tylko przy jednym : co mam zrobić z takim fantem, jak po przekształceniach mam:
\(\displaystyle{ a _{n}= \left( \frac{n ^{2}-1 }{n ^{2} +2n-1 } \right)^{n+1}}\) i to po moich przekształceniach wyszło \(\displaystyle{ -e ^{0} =1}\)
???
\(\displaystyle{ a _{n}= \left( \frac{n ^{2}-1 }{n ^{2} +2n-1 } \right)^{n+1}}\) i to po moich przekształceniach wyszło \(\displaystyle{ -e ^{0} =1}\)
???
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Oblicz granice
7 lat mnie nie było na tym forum a piasek nic się nie zmienił Istotnie tak nie wyjdzie, wydaje mi się że prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ e^{-2}}\) ale nie mam siły wypisywać rozwiązaniapiasek101 pisze:Tak nie wyjdzie - pokaż jak robiłeś.
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 10 lis 2013, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
Oblicz granice
\(\displaystyle{ a _{n}= \left( \frac{n ^{2}-1 }{n ^{2} +2n-1 } \right)^{n+1} = \left( \frac{n ^{2}(1- \frac{1}{n ^{2} }) }{n ^{2}(1+ \frac{2}{n}- \frac{1}{n ^{2} } } \right) ^{n+1}}\)
skracam \(\displaystyle{ n ^{2}}\) ze sobą
\(\displaystyle{ = \frac{(1+ \frac{-1}{n ^{2}) } ^{n+1}}{(1) ^{n+1} }}\)
W mianowniku już nie przepisywałem \(\displaystyle{ + \frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2} }}\) bo one dążą do zera
Dalej zrobiłem by było czytelniej podziele:
Licznik:\(\displaystyle{ [(1+ \frac{-1}{n ^{2} } )^{n ^{2} } ] ^{ \frac{n+1}{n ^{2} } }}\)
i stąd \(\displaystyle{ (1+ \frac{-1}{n ^{2} } )^{n ^{2} \rightarrow e ^{-1}}\) no i to jeszcze jest do potęgi \(\displaystyle{ \frac{n+1}{n ^{2}} = \frac{n(1+ \frac{1}{n} }{n ^{2} } } \rightarrow \frac{1}{n} \rightarrow 0}\)
czyli granica z licznika to \(\displaystyle{ \rightarrow (e ^{-1}) ^{0} = 1}\)
i jeszcze podzielić przez mianownik : \(\displaystyle{ (1) ^{n+1} \rightarrow 1}\)
czyli ostateczna granica to \(\displaystyle{ = 1}\)
-- 22 lis 2018, o 22:40 --
a mozecie spojrzeć gdzie jest błąd ?
skracam \(\displaystyle{ n ^{2}}\) ze sobą
\(\displaystyle{ = \frac{(1+ \frac{-1}{n ^{2}) } ^{n+1}}{(1) ^{n+1} }}\)
W mianowniku już nie przepisywałem \(\displaystyle{ + \frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2} }}\) bo one dążą do zera
Dalej zrobiłem by było czytelniej podziele:
Licznik:\(\displaystyle{ [(1+ \frac{-1}{n ^{2} } )^{n ^{2} } ] ^{ \frac{n+1}{n ^{2} } }}\)
i stąd \(\displaystyle{ (1+ \frac{-1}{n ^{2} } )^{n ^{2} \rightarrow e ^{-1}}\) no i to jeszcze jest do potęgi \(\displaystyle{ \frac{n+1}{n ^{2}} = \frac{n(1+ \frac{1}{n} }{n ^{2} } } \rightarrow \frac{1}{n} \rightarrow 0}\)
czyli granica z licznika to \(\displaystyle{ \rightarrow (e ^{-1}) ^{0} = 1}\)
i jeszcze podzielić przez mianownik : \(\displaystyle{ (1) ^{n+1} \rightarrow 1}\)
czyli ostateczna granica to \(\displaystyle{ = 1}\)
-- 22 lis 2018, o 22:40 --
a mozecie spojrzeć gdzie jest błąd ?
Ostatnio zmieniony 22 lis 2018, o 22:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Oblicz granice
Niektóre (bo Ci pasowało) ułamki z mianownika dążą do zera, a ten z licznika nie - przecież też dąży do zera.
Mamy \(\displaystyle{ \left(1+\frac{-2}{\frac{n^2+2n-1}{n}}\right)^{n+1}}\)
Mamy \(\displaystyle{ \left(1+\frac{-2}{\frac{n^2+2n-1}{n}}\right)^{n+1}}\)
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Oblicz granice
I wszystko jasne. Tak nie wolno.problem_matematyczny pisze:W mianowniku już nie przepisywałem \(\displaystyle{ + \frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2} }}\) bo one dążą do zera
Zrób tak (opowiem ci tylko, bo nie mam po długiej przerwie wprawy w latexowaniu piętrowych ułamków):
w liczniku dodaj i odejmij 2n, rozbij na różnicę "1-ułamek" gdzie ten ułamek ma w liczniku \(\displaystyle{ 2n}\)
Zrzuć te \(\displaystyle{ 2n}\) do mianownika (zrób piętrowy ułamek) a potem żongluj wykładnikami to widzę z twojego rozwiązania że w miarę potrafisz.
edit:o właśnie tak jak piasek ci rozpisał