Udowodnić równość (granica)

[85213]

Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{a^{n}}{n!}=0}\)?
Gdy \(\displaystyle{ |a| \le 1}\) wystarczy powołać się na arytmetykę granic.
Gorzej sytuacja wygląda dla \(\displaystyle{ |a|>1}\). Jakieś pomysły?

[Premislav]

\(\displaystyle{ n!> \left( \frac n 2\right)^{\frac n 2}}\)
dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych i dalej łatwo.
A tę nierówność można tak uzasadnić: jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to
\(\displaystyle{ 1\cdot 2\cdot \ldots \frac n 2 \cdot \left( \frac n 2+1\right)\ldots\cdot n>\overbrace{1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1}^{\frac n 2}\cdot \overbrace{ \frac n 2\cdot \frac n 2\cdot \ldots \cdot \frac n 2 }^{\frac n 2}}\)
jeszcze dodam, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to
\(\displaystyle{ \frac{a^n}{n!}=\frac a n\cdot \frac{a^{n-1}}{(n-1)!}}\).

[85213]

Czyli na przypadki rozpatrujemy:
Będę korzystał z \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_{n}=0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }|a_{n}|=0}\)
1) n-parzyste
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{|a|^{n}}{n!} \le \frac{|a|^{n}}{ \left( \frac{n}{2}\right) ^{n/2} }= \left( \frac{|a|}{\sqrt{ \frac{n}{2} }}\right) ^{n} \rightarrow 0}\)
2) n-nieparzyste
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{|a|^{n}}{n!}= \frac{|a|a^{n-1}}{n(n-1)!} \le \frac{|a|}{n} \cdot \left( \frac{a}{\sqrt{ \frac{n-1}{2} }}\right) ^{n-1}\rightarrow 0}\)

Czy jest to dobrze przeprowadzony dowód?

[Premislav]

Tak.

[a4karo]

Niech \(\displaystyle{ N=2|a|+1}\)
wtedy dla \(\displaystyle{ n>N}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{|a|^n}{n!}<\frac{|a|^N}{N!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-N}\to 0}\)