Rozwiązać zagadnienie początkowe

[qrdnb]

\(\displaystyle{ 4\ddot{x}+4\dot{x}+2x=\sin(t)}\)
Znaleźć:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x(0)\\
\dot{x}(0)\end{cases}}\)

[janusz47]

Równanie charakterystyczne

Pierwiastki równania charakterystycznego.

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego.

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego - na przykład metodą przewidywania.

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego.

Znalezienie wartości \(\displaystyle{ x(0), x'(0)}\) - wynikających z warunków początkowych.

[qrdnb]

To znaczy w którym miejscu należy podstawic 0?

[janusz47]

Równanie charakterystyczne równania jednorodnego:

\(\displaystyle{ 4\lambda^2 +4\lambda +2 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 16 - 32 =-16}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{1}= \frac{-4 - 4i}{8} = \frac{1}{2}(-1 -i),}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{2} = \frac{1}{2}(-1 +i).}\)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

\(\displaystyle{ x(t) = C_{1}e^{\frac{1}{2}(-1 -i)}t} +C_{2}e^{\frac{1}{2}(-1+i)t} = e^{-\frac{1}{2}t}\left [C_{1}\cos\left(\frac{1}{2}t\right ) + C_{2}\sin \left(\frac{1}{2}t \right)\right]}\)

Wobec twierdzenia o rozwiązaniach równania różniczkowego rzędu II o stałych współczynnikach, musi zachodzić warunek:

\(\displaystyle{ e^{it} = 4[Ae^{it}]'' + 4[Ae^it]' + 2\cdot Ae^{it}}\)

\(\displaystyle{ e^{it} = [4iAe^{it}]' + 4Ai e^{it} +2Ae^{it}}\)

\(\displaystyle{ e^{it} = -4Ae^{it}+4Ai e^{it} + 2Ae^{it} = -2Ae^{it} + 4Aie^{it}}\)

\(\displaystyle{ e^{it} = 4A i e^{it}}\)

\(\displaystyle{ 1 = 4Ai, \ \ A = \frac{1}{4i} = -\frac{1}{4}i}\)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

\(\displaystyle{ x(t) = Im\left[ -\frac{1}{4}i\sin(t)\right] + e^{-\frac{1}{2}t}\left [C_{1}\cos\left(\frac{1}{2}t \right) +C_{2}\sin(\left( \frac{1}{2}t\right) \right] =\frac{1}{4} \sin(t) + e^{-\frac{1}{2}t}\left [C_{1}\cos\left(\frac{1}{2}t \right) +C_{2}\sin\left( \frac{1}{2}t\right) \right] \ \ (1)}\)

Teraz należy podstawić do (1) \(\displaystyle{ t= 0.}\)

Obliczyć pochodną I rzędu \(\displaystyle{ x'(t).}\)

Podstawić do niej \(\displaystyle{ t=0.}\)

Z otrzymanego układu równań wyznaczyć wartości liczbowe \(\displaystyle{ C_{1}, C_{2}}\).

Podstawić te wartości do (1) i do \(\displaystyle{ x'(t).}\)