Czynnik całkujący
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Czynnik całkujący
Poniższe równanie jest zupełne lub sprowadzalne do zupełnych za pomocą czynnika całkującego. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne lub szczególne jeżeli podany jest warunek początkowy.
\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)
Niestety nigdy nie liczyłem taka metoda wiec nie bardzo wiem jak zrobić to zdanie.
\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)
Niestety nigdy nie liczyłem taka metoda wiec nie bardzo wiem jak zrobić to zdanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Czynnik całkujący
\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)
\(\displaystyle{ \pfrac{P}{y} = \frac{2x^{2} - y}{ \partial y } = -1}\)
\(\displaystyle{ \pfrac{Q}{x} = \frac{x^{2}y + x}{ \partial x} = 1}\)
czyli zachodzi:
\(\displaystyle{ \pfrac{P}{y}\neq \pfrac{Q}{x}}\)
czyli liczymy
\(\displaystyle{ \frac{1}{P-Q}\left(\pfrac{Q}{y}-\pfrac{P}{x}\right)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \mu(S) = \frac{1}{2x^{2} -y - x^{2}y - x } \left( x^{2} - 4x \right) = \frac{x^{2} - 4x}{x ^{2}\left( 2 - y \right) -y - x }}\)
i dalej mnie blokuje. Czy coś pomyliłem?
\(\displaystyle{ \pfrac{P}{y} = \frac{2x^{2} - y}{ \partial y } = -1}\)
\(\displaystyle{ \pfrac{Q}{x} = \frac{x^{2}y + x}{ \partial x} = 1}\)
czyli zachodzi:
\(\displaystyle{ \pfrac{P}{y}\neq \pfrac{Q}{x}}\)
czyli liczymy
\(\displaystyle{ \frac{1}{P-Q}\left(\pfrac{Q}{y}-\pfrac{P}{x}\right)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \mu(S) = \frac{1}{2x^{2} -y - x^{2}y - x } \left( x^{2} - 4x \right) = \frac{x^{2} - 4x}{x ^{2}\left( 2 - y \right) -y - x }}\)
i dalej mnie blokuje. Czy coś pomyliłem?
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Czynnik całkujący
Nie tego czynnika całkującego szukasz
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{P}\left( \frac{ \partial Q}{ \partial x}- \frac{ \partial P}{ \partial y} \right) \mbox{d}y\\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{Q}\left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x} \right) \mbox{d}x \\}\)
Próbuj najpierw czynników zależnych od jednej zmiennej
\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)
\(\displaystyle{ P=2x^{2} - y \\
Q=x^{2}y + x\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=-1\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x}=2xy+1\\
\frac{1}{Q}\left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x} \right)\\
\frac{1}{x^{2}y + x}\left( \left( -1\right)-\left( 2xy+1\right) \right) =\\
\frac{1}{x\left( xy+1\right) } \cdot \left( -2xy-2\right) \\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}=-\frac{2}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| \mu\right| }=-2\ln{\left| x\right| }\\
\mu\left( x\right)=\frac{1}{x^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{P}\left( \frac{ \partial Q}{ \partial x}- \frac{ \partial P}{ \partial y} \right) \mbox{d}y\\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{Q}\left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x} \right) \mbox{d}x \\}\)
Próbuj najpierw czynników zależnych od jednej zmiennej
\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)
\(\displaystyle{ P=2x^{2} - y \\
Q=x^{2}y + x\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=-1\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x}=2xy+1\\
\frac{1}{Q}\left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x} \right)\\
\frac{1}{x^{2}y + x}\left( \left( -1\right)-\left( 2xy+1\right) \right) =\\
\frac{1}{x\left( xy+1\right) } \cdot \left( -2xy-2\right) \\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}=-\frac{2}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| \mu\right| }=-2\ln{\left| x\right| }\\
\mu\left( x\right)=\frac{1}{x^2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Re: Czynnik całkujący
I teraz nie wiem co dalej. Przemnożyć równanie podstawowe i?mariuszm pisze:Nie tego czynnika całkującego szukasz
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{P}\left( \frac{ \partial Q}{ \partial x}- \frac{ \partial P}{ \partial y} \right) \mbox{d}y\\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{Q}\left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x} \right) \mbox{d}x \\}\)
Próbuj najpierw czynników zależnych od jednej zmiennej
\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)
\(\displaystyle{ P=2x^{2} - y \\
Q=x^{2}y + x\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=-1\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x}=2xy+1\\
\frac{1}{Q}\left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x} \right)\\
\frac{1}{x^{2}y + x}\left( \left( -1\right)-\left( 2xy+1\right) \right) =\\
\frac{1}{x\left( xy+1\right) } \cdot \left( -2xy-2\right) \\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}=-\frac{2}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| \mu\right| }=-2\ln{\left| x\right| }\\
\mu\left( x\right)=\frac{1}{x^2}}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Czynnik całkujący
Tak mnożysz równanie przez znaleziony czynnik a następnie
Rozwiązujesz układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial F}{ \partial x} = P \\ \frac{ \partial F}{ \partial y} = Q \end{cases}}\)
wtedy \(\displaystyle{ F\left( x,y\right)=C}\)
będzie rozwiązaniem równania w postaci uwikłanej
Rozwiązujesz układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial F}{ \partial x} = P \\ \frac{ \partial F}{ \partial y} = Q \end{cases}}\)
wtedy \(\displaystyle{ F\left( x,y\right)=C}\)
będzie rozwiązaniem równania w postaci uwikłanej
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Re: Czynnik całkujący
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y} = -\frac{1}{x^2} \end}\)
1. \(\displaystyle{ \frac{ \partial U} { \partial x} = -2 + \frac{y}{x^2}}\)
2. \(\displaystyle{ \frac{ \partial U}{ \partial x} = y + \frac{1}{x}}\)
Liczę całkę ze względu na y z równania 2.
\(\displaystyle{ U(x,y) = \int y+\frac{1}{x} \mbox{d}y = \frac{y^{2}}{2} + \frac{y}{2} + C(x)}\)
i teraz liczę pochodna czastkowa i co robię dalej?
\(\displaystyle{ \frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x} =}\) ?-- 30 lis 2018, o 22:52 --\(\displaystyle{ U(x,y) = \int y+\frac{1}{x} \mbox{d}y = \frac{y^{2}}{2} + \frac{y}{2x} + C(x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x} = \frac{-1}{2} \cdot x^{-2} \cdot y + C'(x)}\)
i teraz powinienem porównać z :
1. \(\displaystyle{ \frac{ \partial U} { \partial x} = -2 + \frac{y}{x^2}}\)
2. \(\displaystyle{ \frac{ \partial U}{ \partial x} = y + \frac{1}{x}}\)
Liczę całkę ze względu na y z równania 2.
\(\displaystyle{ U(x,y) = \int y+\frac{1}{x} \mbox{d}y = \frac{y^{2}}{2} + \frac{y}{2} + C(x)}\)
i teraz liczę pochodna czastkowa i co robię dalej?
\(\displaystyle{ \frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x} =}\) ?-- 30 lis 2018, o 22:52 --\(\displaystyle{ U(x,y) = \int y+\frac{1}{x} \mbox{d}y = \frac{y^{2}}{2} + \frac{y}{2x} + C(x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x} = \frac{-1}{2} \cdot x^{-2} \cdot y + C'(x)}\)
i teraz powinienem porównać z :
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Czynnik całkujący
Porównujesz to co dostałeś z różniczkowania z twoją funkcją \(\displaystyle{ P\left( x,y\right)}\)
\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)
Nie pomnożyłeś poprawnie równania przez czynnik całkujący
Równanie po przemnożeniu przez czynnik całkujący wygląda tak
\(\displaystyle{ \left( 2 - \frac{y}{x^{2}} \right) \mbox{d}x + \left( y + \frac{1}{x}\right) \mbox{d}y = 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial U}{ \partial x} = P \\ \frac{ \partial U}{ \partial y} = Q \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \int{\left( y+\frac{1}{x}\right) \mbox{d}y } = \frac{y^{2}}{2}+\frac{y}{x}+C\left( x\right)}\)
\(\displaystyle{ -\frac{y}{x^{2}}+C'\left( x\right)=P\\
-\frac{y}{x^{2}}+C'\left( x\right)=2-\frac{y}{x^{2}}\\
C'\left( x\right)=2\\
C\left( x\right)=2x\\
U\left( x,y\right)=\frac{y^{2}}{2}+\frac{y}{x}+2x\\}\)
\(\displaystyle{ \left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y = 0}\)
Nie pomnożyłeś poprawnie równania przez czynnik całkujący
Równanie po przemnożeniu przez czynnik całkujący wygląda tak
\(\displaystyle{ \left( 2 - \frac{y}{x^{2}} \right) \mbox{d}x + \left( y + \frac{1}{x}\right) \mbox{d}y = 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial U}{ \partial x} = P \\ \frac{ \partial U}{ \partial y} = Q \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \int{\left( y+\frac{1}{x}\right) \mbox{d}y } = \frac{y^{2}}{2}+\frac{y}{x}+C\left( x\right)}\)
\(\displaystyle{ -\frac{y}{x^{2}}+C'\left( x\right)=P\\
-\frac{y}{x^{2}}+C'\left( x\right)=2-\frac{y}{x^{2}}\\
C'\left( x\right)=2\\
C\left( x\right)=2x\\
U\left( x,y\right)=\frac{y^{2}}{2}+\frac{y}{x}+2x\\}\)