Monotonicznosc i ograniczonosc ciagow

[sssebastianb5]

Korzystajac z Tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnij zbieznosc podanych ciagów:

a) \(\displaystyle{ y_n= \frac{n^2}{5^n}}\)


b) \(\displaystyle{ b_n= \frac{(n!)^2}{(2n)!}}\)


c) \(\displaystyle{ c_n= \frac{(n+1)^3}{n!}}\)

A wiec zaczalem tak :
a) \(\displaystyle{ y_{n+1}-y_n = \frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} = \frac{n+1}{5^n} = ???}\)
i co dalej i czy jest dobrze

[Jan Kraszewski]

A wiec zaczalem tak :
a) \(\displaystyle{ y_{n+1}-y_n = \frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} = \frac{n+1}{5^n} = ???}\)
i co dalej i czy jest dobrze

Nie, to zdecydowanie nie jest dobrze. Zacznij jeszcze raz:

\(\displaystyle{ y_{n+1}-y_n =}\)

JK

[sssebastianb5]

\(\displaystyle{ y_n= \frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5^n}}\) = mogę to zapisac w ułamku \(\displaystyle{ \frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} \cdot \frac{5^n}{n^2} ????}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \red y_n\black = \frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} - \frac{n^2}{5^n}}\)

Jesteś niestaranny - to nie rokuje dobrze. Czy to, co napisałeś powyżej to na pewno \(\displaystyle{ y_n}\) ?

= mogę to zapisac w ułamku \(\displaystyle{ \frac{(n+1)^2}{5 \cdot 5^n} \cdot \frac{5^n}{n^2} ????}\)

A na jakiej podstawie miałbyś móc? Oczywiście, że nie.

Przede wszystkim powinieneś zdecydować się, co robisz. Bo najpierw zaczynasz zajmować się różnicą \(\displaystyle{ y_{n+1}-y_n}\), a za chwilę pytasz się o iloraz \(\displaystyle{ \frac{y_{n+1}}{y_n}}\). Monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ y_n}\) można sprawdzać badając różnicę kolejnych wyrazów, bądź badając ich iloraz, ale to trzeba wyraźnie zadeklarować.

JK

[sssebastianb5]

Czyli co obliczyć \(\displaystyle{ n+1 , n+2}\) i sprawdzić jak się to zachowuje ??

[rivit]

\(\displaystyle{ left| frac{ a_{n+1} }{a_n}
ight| < 1}\)

\(\displaystyle{ frac{ a_{n+1} }{a_n} = a_{n+1} cdot frac{1}{a_n} = frac{(n+1)^2}{5^{n} cdot 5} cdot frac{5^n}{n^2} =left( frac{n+1}{n}
ight)^2 cdot frac{1}{5}}\)

przy \(\displaystyle{ n
ightarrow infty}\) pierwszy czynnik dąży do \(\displaystyle{ 1}\), czyli całośc dązy do \(\displaystyle{ frac{1}{5}}\) co jest zgodne z tym modułem co napisałem na samej górze. Wniosek-> ciąg jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\).

12816.htm

[a4karo]

\(\displaystyle{ \left| \frac{ a_{n+1} }{a_n}\right| < 1}\)

A co to niby ma znaczyć: "pokażę, że ....". A może "jeżeli zachodzi ten warunek, to ciąg jest zbieżny do zera?" Chyba to drugie, bo na to powołujesz się w swoim rozwiązaniu. Ale to nie jest prawda.

\(\displaystyle{ \frac{ a_{n+1} }{a_n} = a_{n+1} * \frac{1}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{5^{n}*5} * \frac{5^n}{n^2} =\left( \frac{n+1}{n}\right)^2 * \frac{1}{5}}\)

przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) pierwszy czynnik dąży do 1, czyli całośc dązy do \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) co jest zgodne z tym modułem co napisałem na samej górze. Wniosek-> ciąg jest zbieżny do 0


https://www.matematyka.pl/12816.htm

[sssebastianb5]

b)


\(\displaystyle{ b_n= \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)! }{n!}}\) i co dalej ??

[a4karo]

b)
\(\displaystyle{ b_n= \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)! }{n!}}\) i co dalej ??

Nic dalej. Od samego początku jest źle i każda równość jest nieprawdziwa.

[sssebastianb5]

ale biore wzor na monotoniczność

\(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_n}}\)

[a4karo]

Przeciez to żaden wzór

[Jan Kraszewski]

Te dwie rzeczy:

ale biore wzor na monotoniczność

\(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_n}}\)

b)
\(\displaystyle{ b_n= \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{2n!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)! }{n!}}\) i co dalej ??

nie mają ze sobą nic wspólnego. Używasz zupełnie dowolnie różnego rodzaju symboli i nawet jeśli masz jakiś sensowny plan, to jego realizacja zawodzi na całej linii. Matematyka wymaga precyzji i porządku w używaniu symboli i takich błędów nie wybacza. Gdybyś istotnie robił to, co piszesz, że robisz, to zacząłbyś tak:

\(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}=...}\)

I jeszcze uwaga techniczna - \(\displaystyle{ \LaTeX}\) może sprawiać Ci problemy, ale musisz poświęcić mu więcej uwagi, bo masz już dwa ostrzeżenia. Jak piszesz wiadomość, to zanim ją wyślesz użyj funkcji "Podgląd" - jak to, co zobaczysz, nie będzie wyglądało właściwie, to wróć do edycji. I pooglądaj swoje posty poprawione przez moderację by zobaczyć, jaki jest właściwy wygląd.

JK

[sssebastianb5]

Czyli moje rozwiązanie z zadania jest błędne i ten wynik co mi wyszedł nie mogę nic stwierdzić ??

[Jan Kraszewski]

Pomijając fatalny zapis, przekształcenia też są zupełnie błędne. Spróbuj jeszcze raz:

\(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}=\frac{(n!)^2\cdot (n+1)^2}{(2n)!\cdot(2n+1)(2n+2)}\cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}=...}\)

Tylko za każdym razem powinieneś wiedzieć, skąd bierze się kolejny wynik, także w tym, co napisałem powyżej (bo inaczej to nie ma sensu - dostaniesz inny przykład i polegniesz).

JK

[sssebastianb5]

Dobra już chyba zaczailem , jak będę w domu zrobie punkt c , i jakbyś mógł potem rzucić okiem czy dobrze rozumuje i czy wynik jest poprawny