W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu

[JakubP-Jzero]

janusz47, Jeśli \(\displaystyle{ \lambda = S}\) tak jak uważam, że powinno być, ponieważ \(\displaystyle{ \frac{S}{\lambda}=1}\), to wstawiając \(\displaystyle{ S}\) do funkcji L Lagrange'a mamy \(\displaystyle{ L \left( x,y,z,\lambda \right) =8xy + 8xz + 8yz +S \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}-1 \right)}\) teraz wyłączam \(\displaystyle{ S}\) przed nawias otrzymując \(\displaystyle{ L=S \left( 1 + \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}-1 \right)}\). Z warunku wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1}\), więc \(\displaystyle{ L = S}\)

Natomiast jeśli \(\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{S}}\) to \(\displaystyle{ L= S+\frac{1}{S} \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}-1 \right)}\) wyłączając \(\displaystyle{ S}\) mamy, że \(\displaystyle{ L= S \left( 1+S^2 \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}-1 \right)}\) Jak teraz znaleźć ów wartości \(\displaystyle{ x,y,z}\) ?

[janusz47]

Podstawiając \(\displaystyle{ \lambda = S,}\) znajdujemy \(\displaystyle{ x^{*}, y^{*}, z^{*}}\) z układu trzech równań na pochodne cząstkowe.

[JakubP-Jzero]

janusz47, Podstawiłem i następnie podzieliłem pierwsze równanie przez drugie :
\(\displaystyle{ \frac{4(y+z)}{4(x+z)}=\frac{Sx}{a^2}\frac{b^2}{Sy}}\) Podstawiając za \(\displaystyle{ \frac{1}{a^2} = \frac{4(y+z)}{Sx}}\) i analogicznie \(\displaystyle{ \frac{1}{b^2}}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 1=1}\) Czy to oznacza, że \(\displaystyle{ x=y}\) a co z tego wynika, że \(\displaystyle{ x=y=z}\) ? Wstawiając to do równania pierwszego mamy, że \(\displaystyle{ 8x=\frac{x}{a^2}\cdot 8 \cdot 3 \cdot x^2}\) czyli, że \(\displaystyle{ x= \frac{a \sqrt3}{3} \lor x= \frac{-a \sqrt3}{3}}\), analogicznie otrzymujemy \(\displaystyle{ y,z}\). Cóż będzie następnym krokiem ?

[janusz47]

Dobrze. Teraz sprawdź, czy w punktach \(\displaystyle{ x^{*} =\frac{a\sqrt{3}}{2}, y^{*} = \frac{b\sqrt{3}}{2}, z^{*}=\frac{c\sqrt{3}}{2}}\) występuje maksimum globalne.

Zbadaj, czy w tych punktach macierz drugiej różniczki:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} L_{xx}& L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}& L_{yy}&L_{yz}\\ L_{zx}& L_{zy}&L_{zz}\end{matrix}\right]}\)

jest ujemnie określona.

Jeśli, tak ( a powinna), to oblicz maksymalne pole prostopadłościanu wpisanego w elipsoidę:

\(\displaystyle{ S^{*}= 8(x^{*}y^{*} + x^{*}z^{*} + y^{*}z^{*}).}\)

[JakubP-Jzero]

janusz47, A czy mogę uzasadnić to tak:
Elipsoidy są zwarte jako obrazy kul w metryce euklidesowej przez odwzorowanie liniowe, więc na mocy twierdzenia Weierstrassa, które mówi, że funkcja ciągła o wartościach rzeczywistych, określona na przedziale zwartym, osiąga ekstremum globalne, ( co można uogólnić dla dowolnych funkcji ciągłych, określonych na zwartych podzbiorach dowolnych przestrzeni topologicznych), \(\displaystyle{ S=8(xy+xz+yz)}\) dla wcześniej przedstawionego z,y,x , ma możliwie największe pole powierzchni w tej elipsoidzie ?

[janusz47]

Możesz w ten sposób, idąc drogą topologiczną.
Można też uzasadnić, posługując się nierównością między średnimi geometryczną i arytmetyczną. Metoda mnożników Lagrange'a, którą przyjąłeś na początku jest najbardziej pracochłonna.