W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu
W elipsoidę : \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1}\)
wpisać prostopadłościan o możliwie największym polu całkowitym.
Skonstruowałem już funkcję \(\displaystyle{ f \left( x,y,z \right) =8 \left( xz+xy+yz \right)}\). Teraz chciałem rozwiązać to używając mnożników Lagrange'a, tym samym skonstruowałem następującą funkcję: \(\displaystyle{ L \left( x,y,z,\lambda \right) =8 \left( xz+xy+yz \right) +\lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} -1 \right)}\). Teraz stworzyłem następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 8 \left( z+y \right) +\lambda\frac{x}{a^2}=0 \\ 8 \left( x+z \right) +\lambda\frac{y}{b^2}=0 \\ 8 \left( x+y \right) +\lambda\frac{z}{c^2}=0 \\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}-1=0 \end{cases}}\)
Tutaj napotykam problem. Pierwsze trzy równania pomnożyłem w następujący sposób : I równanie przez x, II równanie przez y, III równanie przez z. Następnie dodałem stronami ów równania i otrzymałem : \(\displaystyle{ 8 \left( x \left( z+y \right) +y \left( x+z \right) +z \left( x+y \right) \right) +\lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \right) =0}\). Rzecz jasna \(\displaystyle{ \lambda}\) pomnożone jest przez \(\displaystyle{ 1}\), co wynika z naszego IV równania. Jednak nie mam pojęcia jak ruszyć to dalej. Czy mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu tego układu ?
wpisać prostopadłościan o możliwie największym polu całkowitym.
Skonstruowałem już funkcję \(\displaystyle{ f \left( x,y,z \right) =8 \left( xz+xy+yz \right)}\). Teraz chciałem rozwiązać to używając mnożników Lagrange'a, tym samym skonstruowałem następującą funkcję: \(\displaystyle{ L \left( x,y,z,\lambda \right) =8 \left( xz+xy+yz \right) +\lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} -1 \right)}\). Teraz stworzyłem następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 8 \left( z+y \right) +\lambda\frac{x}{a^2}=0 \\ 8 \left( x+z \right) +\lambda\frac{y}{b^2}=0 \\ 8 \left( x+y \right) +\lambda\frac{z}{c^2}=0 \\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}-1=0 \end{cases}}\)
Tutaj napotykam problem. Pierwsze trzy równania pomnożyłem w następujący sposób : I równanie przez x, II równanie przez y, III równanie przez z. Następnie dodałem stronami ów równania i otrzymałem : \(\displaystyle{ 8 \left( x \left( z+y \right) +y \left( x+z \right) +z \left( x+y \right) \right) +\lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \right) =0}\). Rzecz jasna \(\displaystyle{ \lambda}\) pomnożone jest przez \(\displaystyle{ 1}\), co wynika z naszego IV równania. Jednak nie mam pojęcia jak ruszyć to dalej. Czy mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu tego układu ?
Ostatnio zmieniony 17 lis 2018, o 20:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol
W funkcji Lagrange'a \(\displaystyle{ \mathcal{L}}\) powinno być \(\displaystyle{ 4}\) zamiast \(\displaystyle{ 8}\) i \(\displaystyle{ -\lambda}\) zamiast \(\displaystyle{ +\lambda.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}4(z+y)= \frac{2\lambda x}{a^2}\\ 4(x +z)= \frac{2\lambda y}{b^2}\\ 4(z+y) = \frac{2\lambda z}{c^2} \\ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{a^2} = \frac{2(z+y)}{\lambda x}\\ \frac{1}{b^2} = \frac{2(x+z)}{\lambda y}\\ \frac{1}{c^2} = \frac{2(x+y)}{\lambda z} \\ \frac{1}{a^2}x^2+ \frac{1}{b^2}{y^2}+\frac{1}{c^2}z^2=1 \end{cases}}\)
Proszę podstawić pierwsze trzy równania do czwartego i znaleźć wartość parametru \(\displaystyle{ \lambda.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}4(z+y)= \frac{2\lambda x}{a^2}\\ 4(x +z)= \frac{2\lambda y}{b^2}\\ 4(z+y) = \frac{2\lambda z}{c^2} \\ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{a^2} = \frac{2(z+y)}{\lambda x}\\ \frac{1}{b^2} = \frac{2(x+z)}{\lambda y}\\ \frac{1}{c^2} = \frac{2(x+y)}{\lambda z} \\ \frac{1}{a^2}x^2+ \frac{1}{b^2}{y^2}+\frac{1}{c^2}z^2=1 \end{cases}}\)
Proszę podstawić pierwsze trzy równania do czwartego i znaleźć wartość parametru \(\displaystyle{ \lambda.}\)
Ostatnio zmieniony 18 lis 2018, o 12:01 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol
janusz47, Widzę i rozumiem błąd z 4 zamiast 8 ale wtedy nie będzie 2 przy \(\displaystyle{ \lambda\frac{2x}{a^2}}\) itd.Co więcej, w definicji metody mnożników Lagrange'a \(\displaystyle{ \lambda}\) jest z plusem, a licząc pochodne cząstkowe pierwszego rzędu z \(\displaystyle{ \lambda(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1)}\) kolejno po x,y,z nie dostajemy wartości z minusem. Stąd moje pytanie, skąd ten minus ?
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol
W definicji mnożników funkcji Lagrange'a \(\displaystyle{ \lambda}\) jest z plusem i minusem.
W tym przypadku postaci funkcji Lagrange'a muszą zachodzić równości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a^{2}}= \frac{2z}{\lambda x}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{b^{2}}= \frac{2x}{\lambda y}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{c^{2}}= \frac{2y}{\lambda z}>0}\)
W tym przypadku postaci funkcji Lagrange'a muszą zachodzić równości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a^{2}}= \frac{2z}{\lambda x}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{b^{2}}= \frac{2x}{\lambda y}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{c^{2}}= \frac{2y}{\lambda z}>0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22227
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol
Czy ja mógłbym prosić o przybliżenie tajemniczych sformułowań "\(\displaystyle{ \lambda}\) jest z plusem (z minusem)"? W szczególności interesuje mnie, czy \(\displaystyle{ 2=-(-2)}\) jest z plusem, czy z minusem?
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu
Nie rozumiem przejścia z układu, który ja napisałem, na ten : \(\displaystyle{ \begin{cases}4z= \frac{2\lambda x}{a^2}\\ 4x = \frac{2\lambda y}{b^2}\\ 4y = \frac{2\lambda z}{c^2} \\ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \end{cases}}\)
Tak, wiem że wyrażenie lambda z plusem i minusem jest niepoprawne.
Tak, wiem że wyrażenie lambda z plusem i minusem jest niepoprawne.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol
janusz47, Dlaczego tak jest ? Przecież: \(\displaystyle{ L'_x= \left( 8 \left( xz+xy+yz \right) \right) ' + \left( \lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} -1 \right) \right) '=8 \left( z+y \right) +\lambda\frac{2x}{a^2}}\) Skąd więc nagle \(\displaystyle{ 4z=\frac{2 \lambda x}{a^2}}\) itd. ? Może po prostu coś mi umyka, ale nie potrafię tego zrozumieć, jakie przekształcenia elementarne tam wykonujemy ?
Ostatnio zmieniony 18 lis 2018, o 19:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu
A czy byłbyś tak dobry i wytłumaczył dlaczego możemy zmieniać znak przy lambda ?
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol
Rozwiązując nierówności otrzymałem
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{8y}{\lambda}>0 \\ \frac{8z}{\lambda}>0 \\ \frac{8x}{\lambda}>0 \end{cases}}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x,z,y>0}\), co wynika z tego, że długości boków prostopadłościanu są następujące \(\displaystyle{ 2x,2y,2z}\), więc \(\displaystyle{ \lambda>0}\) Nie mam pojęcia co mi to daje. Podstawiłem do warunku jak mi wskazano i otrzymałem \(\displaystyle{ 8(xz+xy+zy)=\lambda}\) z tego wyliczyłem \(\displaystyle{ z=\frac{\lambda + 8xy}{x+y}}\) Jaki kolejny krok ? Do czego to wstawić ? Wydaje mi się, że cokolwiek nie robię to kręcę się w koło
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{8y}{\lambda}>0 \\ \frac{8z}{\lambda}>0 \\ \frac{8x}{\lambda}>0 \end{cases}}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x,z,y>0}\), co wynika z tego, że długości boków prostopadłościanu są następujące \(\displaystyle{ 2x,2y,2z}\), więc \(\displaystyle{ \lambda>0}\) Nie mam pojęcia co mi to daje. Podstawiłem do warunku jak mi wskazano i otrzymałem \(\displaystyle{ 8(xz+xy+zy)=\lambda}\) z tego wyliczyłem \(\displaystyle{ z=\frac{\lambda + 8xy}{x+y}}\) Jaki kolejny krok ? Do czego to wstawić ? Wydaje mi się, że cokolwiek nie robię to kręcę się w koło
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu
\(\displaystyle{ \frac{(2z+y)x}{\lambda} + \frac{2(x+z)y}{\lambda} + \frac{2(x+y)z}{\lambda}= 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{4(xy + xz +yz)}{\lambda} = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{S}{\lambda} =1,}\)
\(\displaystyle{ \lambda =\frac{1}{4(xy+xz +yz)}= \frac{1}{S}.}\)
\(\displaystyle{ \frac{4(xy + xz +yz)}{\lambda} = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{S}{\lambda} =1,}\)
\(\displaystyle{ \lambda =\frac{1}{4(xy+xz +yz)}= \frac{1}{S}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol
janusz47 Czy nie powinno jako \(\displaystyle{ S}\) być \(\displaystyle{ 8(xy+xz+yz)}\) oraz skoro \(\displaystyle{ \frac{S}{\lambda} =1}\) to \(\displaystyle{ S=\lambda}\) ? I co dalej, oznacza to, że \(\displaystyle{ \lambda}\) jest maksymalnym polem ?
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol
Jak jest wzór na pole prostopadłościanu, którego punkty wierzchołki ścian są symetrycznie rozmieszczone na powierzchni elipsoidy?
Na czym polega metoda mnożników Lagrange'a? Czy ekstremum globalne funkcji jest parametrem \(\displaystyle{ \lambda?}\)
JakubP- Izero
Wstawiamy \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{S}}\) do funkcji \(\displaystyle{ \mathcal{L}.}\)
Obliczamy wartość \(\displaystyle{ \lambda =...}\)
Wyznaczamy wartości \(\displaystyle{ x^{*}, y^{*}, z^{*}}\).
Sprawdzamy, czy w tych punktach występuje maksimum globalne.
Znajdujemy poszukiwaną maksymalną wartość pola prostopadłościanu \(\displaystyle{ P^{*}.}\)
-- 18 lis 2018, o 21:43 --
JakubP-Jzero
Masz rację, przyjmij współrzędne punktów wierzchołkowych prostopadłościanu \(\displaystyle{ P_{i}( \pm 2x, \pm 2y, \pm 2z), \ \ i=1,2,3,4,5,6,7,8.}\), wtedy jego pole całkowite jest rzeczywiście równe:
\(\displaystyle{ S = 8(xy +xz +yz).}\)
Na czym polega metoda mnożników Lagrange'a? Czy ekstremum globalne funkcji jest parametrem \(\displaystyle{ \lambda?}\)
JakubP- Izero
Wstawiamy \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{S}}\) do funkcji \(\displaystyle{ \mathcal{L}.}\)
Obliczamy wartość \(\displaystyle{ \lambda =...}\)
Wyznaczamy wartości \(\displaystyle{ x^{*}, y^{*}, z^{*}}\).
Sprawdzamy, czy w tych punktach występuje maksimum globalne.
Znajdujemy poszukiwaną maksymalną wartość pola prostopadłościanu \(\displaystyle{ P^{*}.}\)
-- 18 lis 2018, o 21:43 --
JakubP-Jzero
Masz rację, przyjmij współrzędne punktów wierzchołkowych prostopadłościanu \(\displaystyle{ P_{i}( \pm 2x, \pm 2y, \pm 2z), \ \ i=1,2,3,4,5,6,7,8.}\), wtedy jego pole całkowite jest rzeczywiście równe:
\(\displaystyle{ S = 8(xy +xz +yz).}\)