Czy ciąg jest ograniczny z góry?
-
- Użytkownik
- Posty: 149
- Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 64 razy
Czy ciąg jest ograniczny z góry?
Jak w tym przykładzie sprawdzić, czy ciąg jest ograniczony z góry (bez liczenia granicy przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)) ?
\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)}\)
\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 149
- Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 64 razy
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?
A pomnożyłeś?
\(\displaystyle{ \left( 1-\frac12\right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)=\left( 1-\frac{1}{2^2}\right) \cdot\left( 1 + \frac{1}{2^2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)=...}\)
JK
\(\displaystyle{ \left( 1-\frac12\right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)=\left( 1-\frac{1}{2^2}\right) \cdot\left( 1 + \frac{1}{2^2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)=...}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 149
- Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 64 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?
Ok, ale
\(\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right) = \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right)}\)
i co z tym?
\(\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right) = \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right)}\)
i co z tym?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\le \left( \frac{\left( 1+\frac 1 2\right)+\ldots+\left( 1+\frac{1}{2^n}\right) }{n} \right)^n <\left( \frac{n+1}{n}\right)^n}\)
a znany jest fakt, że to ostatnie zbiega do \(\displaystyle{ e}\) (jak nie chcesz korzystać z tej ostatniej granicy, to ogranicz \(\displaystyle{ \left( \frac{n+1}{n}\right)^n}\) z góry przez \(\displaystyle{ 3}\)).
\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\le \left( \frac{\left( 1+\frac 1 2\right)+\ldots+\left( 1+\frac{1}{2^n}\right) }{n} \right)^n <\left( \frac{n+1}{n}\right)^n}\)
a znany jest fakt, że to ostatnie zbiega do \(\displaystyle{ e}\) (jak nie chcesz korzystać z tej ostatniej granicy, to ogranicz \(\displaystyle{ \left( \frac{n+1}{n}\right)^n}\) z góry przez \(\displaystyle{ 3}\)).
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?
A ja nie zauważyłem, że a4karo nie zauważył. Sorry... Na szczęście Dasio11 zawsze czuwa.a4karo pisze:No faktycznie. Posypało się. Już chyba drugi raz nie zauważyłem podobnego motywu. Sorry...
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Czy ciąg jest ograniczny z góry?
Ponieważ nie każdy zna nierówności między średnimi (acz polecam je poznać!), to pozwolę sobie dodać jeszcze jedno rozwiązanie:
skorzystamy ze znanej nierówności \(\displaystyle{ 1+x\le e^x}\) (tutaj zawsze będzie \(\displaystyle{ x>0}\), więc nierówność będzie nawet ostra, ale to szczegół):
ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in \NN^+, n>1}\). Wtedy na mocy wspomnianej nierówności:
\(\displaystyle{ 1+\frac 1 2\le e^{\frac 1 2}\\1+\frac 1 4\le e^{\frac 1 4}\\\ldots \\ \ldotds 1+\frac{1}{2^n}\le e^{\frac{1}{2^n}}}\)
Mnożymy tych \(\displaystyle{ n}\) nierówności stronami (możemy tak zrobić, gdyż w każdej nierówności obie strony są dodatnie) i mamy
\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\le e^{\frac 1 2+\ldots+\frac{1}{2^n}}<e}\)
Ostatnia nierówność wynika z tego, że \(\displaystyle{ e^x}\) jest funkcją rosnącą i że \(\displaystyle{ \frac 1 2+ \ldots+\frac{1}{2 ^{n}}<1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\).
skorzystamy ze znanej nierówności \(\displaystyle{ 1+x\le e^x}\) (tutaj zawsze będzie \(\displaystyle{ x>0}\), więc nierówność będzie nawet ostra, ale to szczegół):
ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in \NN^+, n>1}\). Wtedy na mocy wspomnianej nierówności:
\(\displaystyle{ 1+\frac 1 2\le e^{\frac 1 2}\\1+\frac 1 4\le e^{\frac 1 4}\\\ldots \\ \ldotds 1+\frac{1}{2^n}\le e^{\frac{1}{2^n}}}\)
Mnożymy tych \(\displaystyle{ n}\) nierówności stronami (możemy tak zrobić, gdyż w każdej nierówności obie strony są dodatnie) i mamy
\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\le e^{\frac 1 2+\ldots+\frac{1}{2^n}}<e}\)
Ostatnia nierówność wynika z tego, że \(\displaystyle{ e^x}\) jest funkcją rosnącą i że \(\displaystyle{ \frac 1 2+ \ldots+\frac{1}{2 ^{n}}<1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\).