Obliczanie wartości zdarzeń

[Sansi]

Mamy dane \(\displaystyle{ P(A \cup B) = \frac{7}{8} , P(A \cap B) = \frac{1}{4} , P(\overline{A})= \frac{1}{2}}\).

Obliczyć \(\displaystyle{ P(A \cap \overline{B}) , P(\overline{A} \cap B) , P(\overline{A} \cap \overline{B})}\).

Proszę o sprawdzenie poprawności

\(\displaystyle{ P(\overline{A})=1-P(A)}\)

\(\displaystyle{ P(A)=1-P(\overline{A})}\)

\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ P(A \cup B)=1-P(\overline{A})+P(B)-P(A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{7}{8}- \frac{8}{8}+ \frac{4}{8}+ \frac{2}{8}}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{5}{8}}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{B})=1-P(B)}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{B})= \frac{3}{8}}\)

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)P(B) \Rightarrow P(A \cap \overline{B})=P(A)P(\overline{B})}\)

\(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16}}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B)= \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}= \frac{5}{16}}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap \overline{B})= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}= \frac{3}{16}}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)P(B) \Rightarrow P(A \cap \overline{B})=P(A)P(\overline{B})}\)

\(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16}}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B)= \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}= \frac{5}{16}}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap \overline{B})= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}= \frac{3}{16}}\)

A to skąd się wzięło?!

JK

[Sansi]

Mówiąc najszczerzej - z notatek z lekcji z tablicy kiedy inni rozwiązywali zadania

Ja znalazłam, że \(\displaystyle{ (B \cap A')=B \setminus (A \cap B)}\) przykładowo, ale skoro na lekcji było inaczej to się sugerowałam notatkami

[Jan Kraszewski]

Przykro mi, ale używasz zaklęć nie rozumiejąc ich. To grozi poważnymi skutkami. Zauważ np. że w danych masz \(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{1}{4}}\), a trochę niżej napisałaś \(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16}}\). Czyżby \(\displaystyle{ \frac14=\frac{3}{16}}\) ?

To co napisałaś, to zupełnie nieuprawnione przypuszczenie, że masz do czynienia ze zdarzeniami niezależnymi.

Poprawnie wyznaczyłaś \(\displaystyle{ P(B)= \frac{5}{8}}\), choć nie jest to potrzebne. Żeby odpowiedzieć na pytanie w zadaniu trzeba mieć podstawową orientację w prawach rachunku zbiorów bądź w diagramach Venna i zobaczyć, że

\(\displaystyle{ \overline{A} \cap \overline{B}=\overline{A\cup B}}\) zatem \(\displaystyle{ P\left( \overline{A} \cap \overline{B}\right) =1-P(A\cup B)}\)

\(\displaystyle{ A=(A\cap B)\cup \left(A \cap \overline{B}\right)}\) i suma jest rozłączna, zatem \(\displaystyle{ P(A)=P(A\cap B)+ P\left(A \cap \overline{B}\right)}\), skąd \(\displaystyle{ P\left(A \cap \overline{B}\right)=P(A)-P(A\cap B)}\)

i analogicznie dla \(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B)}\).

JK

[Sansi]

Czyli tak wprost z podstawowych własności prawdopodobieństwa to nie wynika? Nie widzę tam takich zależności, a podobno do tych zadań miały nam wystarczyć :/

No nic dziękuję spróbuję zrozumieć

[Jan Kraszewski]

Czyli tak wprost z podstawowych własności prawdopodobieństwa to nie wynika?

Wynika, ale trzeba wiedzieć, jak je zastosować. Używam wyłącznie dwóch przytoczonych przez Ciebie własności, mówiących jak liczyć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń oraz prawdopodobieństwo zdarzenia dopełniającego.

JK

[Sansi]

Czy teraz będzie poprawnie?
\(\displaystyle{ B=(\overline{A} \cap B) \cup (A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ B=(\overline{A} \cap B) + (A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ (\overline{A} \cap B)=P(B)-(A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B)= \frac{5}{8}-\frac{1}{4}=\frac{3}{8}}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B)= \frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap \overline{B})=P(A)-P(A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ P((A \cap \overline{B})= \frac{1}{2} - \frac{1}{4}= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap \overline{B})=1-(A \cap B)=1- \frac{1}{4}= \frac{3}{4}}\)


Czy taki sposób byłby błędny? Jeśli powyższe wyniki mam dobre to wychodzi z niego to samo.

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B)=B \setminus (A \cap B) = \frac{5}{8}-\frac{1}{4}=\frac{3}{8}}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ B=(\overline{A} \cap B) + (A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ (\overline{A} \cap B)=P(B)-(A \cap B)}\)

Te dwie linijki nie mają sensu, bo nie możesz wykonywać działań algebraicznych na zbiorach. Dodawać i odejmować możesz prawdopodobieństwa.

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B)= \frac{5}{8}-\frac{1}{4}=\frac{3}{8}}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B)= \frac{3}{8}}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap \overline{B})=P(A)-P(A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ P((A \cap \overline{B})= \frac{1}{2} - \frac{1}{4}= \frac{1}{4}}\)

Dobrze.

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap \overline{B})=1-(A \cap B)=1- \frac{1}{4}= \frac{3}{4}}\)

Źle. Nawet przy przepisywaniu trzeba uważać.

Czy taki sposób byłby błędny? Jeśli powyższe wyniki mam dobre to wychodzi z niego to samo.

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B)=B \setminus (A \cap B) = \frac{5}{8}-\frac{1}{4}=\frac{3}{8}}\)

Zapis \(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap B)=B \setminus (A \cap B)}\) nie ma sensu, nie możesz porównywać prawdopodobieństwa ze zbiorem. Poza tym pytanie jest źle postawione - to nie jest dla Ciebie sposób, bo Ty nie rozumiesz tych znaczków.

Tak naprawdę to, o co pytasz, to jest DOKŁADNIE to samo, co sama napisałaś powyżej (tylko niepoprawnie zapisane) - nawet tego nie zauważyłaś...

Uwierz mi, nie ma innego rozsądnego wyjścia niż zrozumieć, co tu się naprawdę dzieje.

JK

[Sansi]

To nie jest w żaden sposób przedmiot dla mnie kierunkowy więc mam nadzieję, że jednak po prostu jakoś to zaliczę - oczywiście bez urazy dla samej dziedziny nauki, po prostu koncentruję się na swoich dziedzinach

Dziękuję

[Jan Kraszewski]

Prawdopodobieństwo prawdopodobnie się nie obrazi, po prostu dla Ciebie efektywniej byłoby to zrozumieć, tym bardziej, że to akurat są proste kwestie.

JK