Jak to się liczy?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 } \right) ^{4n}}\)
Jak liczy się granicę do potęgi n?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Jak liczy się granicę do potęgi n?
Z twierdzenia o trzech ciągach chociażby.
Z jednej strony oczywiście
\(\displaystyle{ \left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 } \right) ^{4n}>1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\), z drugiej strony na mocy nierówności Bernoulliego mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 } \right) ^{4n}} = \left(\frac{ n^{2}+1 }{ n^{2}+6 } \right) ^{4n}=\left( 1-\frac{5}{n^2+6}\right)^{4n}\ge 1- \frac{20n}{n^2+6}}\)
i to ostatnie wyrażenie jest dodatnie dla \(\displaystyle{ n>20}\), więc podsumowując
dla \(\displaystyle{ n>20}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{20n}{n^2+6}} >\left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 } \right) ^{4n}>1}\)
i z tw. o trzech ciągach wynika, że „nasz" ciąg ma granicę \(\displaystyle{ 1}\).
Z jednej strony oczywiście
\(\displaystyle{ \left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 } \right) ^{4n}>1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\), z drugiej strony na mocy nierówności Bernoulliego mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 } \right) ^{4n}} = \left(\frac{ n^{2}+1 }{ n^{2}+6 } \right) ^{4n}=\left( 1-\frac{5}{n^2+6}\right)^{4n}\ge 1- \frac{20n}{n^2+6}}\)
i to ostatnie wyrażenie jest dodatnie dla \(\displaystyle{ n>20}\), więc podsumowując
dla \(\displaystyle{ n>20}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{20n}{n^2+6}} >\left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 } \right) ^{4n}>1}\)
i z tw. o trzech ciągach wynika, że „nasz" ciąg ma granicę \(\displaystyle{ 1}\).