udowodnij ograniczoność ciągu + podaj jego granicę

[K4rol]

\(\displaystyle{ a_{n}= \left( 1-\frac{1}{2} \right) \cdot \left( 1-\frac{1}{2^{2}} \right) \cdot \left( 1-\frac{1}{2^{3}} \right) \cdot ... \cdot \left( 1-\frac{1}{2^{n}} \right)}\)

więc na pewno istnieje ograniczenie z góry

\(\displaystyle{ b_{n}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)

jeżeli chodzi o ograniczenie z dołu to tak na logikę, jeśli mnożymy ze sobą ułamki (dodatnie) to nigdy nie dostaniemy liczby \(\displaystyle{ 0}\) więc

\(\displaystyle{ c_{n}=0}\)

\(\displaystyle{ 0< \lim_{n \to \infty } a_{n} < \frac{1}{2}}\)

natomiast jak znaleźć tą granicę? derive6 podpowiada że będzie ok. 0.289

[ann_u]

Dość skompilowany problem, może to pomoże

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/2128456/evaluate-prod-n-1-infty-frac2n-12n