udowodnij ze odwzorowanie jest izomorfizmem w siebie

[rivit]

\(\displaystyle{ A = \left\{ x = a + b \sqrt{3} : a, b \in \ZZ\right\}}\)
Udowodnij, że odwzorowanie \(\displaystyle{ f : x = a + b \sqrt{3} \rightarrow x˜ = a - b\sqrt{3}}\) jest automorfizmem pierścienia
\(\displaystyle{ (A, +, \cdot )}\) w siebie.

Jak to pokazać? Niestety nawet nie wiem jak rozpocząć :/

[Premislav]

Co to jest \(\displaystyle{ A}\)? Chodzi może o \(\displaystyle{ \QQ(\sqrt{2})}\), czy \(\displaystyle{ \ZZ(\sqrt{2})}\)?

[rivit]

Zapomniałem dodać. Edytowałem 1 post

[Jan Kraszewski]

Niestety nawet nie wiem jak rozpocząć :/

Z definicji automorfizmu?

JK

[rivit]

\(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\)

\(\displaystyle{ L = f((a+b\sqrt{3}) + (c+d\sqrt{3}))=(a+c)+(b+d) \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ P = f(a+b\sqrt{3}) + f(c+d\sqrt{3})=(a+c)+(b+d) \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ L = P}\)

to nie jest po prostu tak? (póki co dla samego dodawania)

[Premislav]

No chyba nie do końca.
Z określenia \(\displaystyle{ f}\) mamy dla \(\displaystyle{ a,b\in \ZZ}\):
\(\displaystyle{ L = f((a+b\sqrt{3}) + (c+d\sqrt{3}))=(a+c){\red -}(b+d) \sqrt{3}}\)
i tak dalej.

Oczywiście jeszcze trzeba sprawdzić, czy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją (to akurat łatwe) i jeszcze sprawdzić mnożenie.

[rivit]

dziękuję bardzo