Ciąg określony rekurencyjnie i indukcja matematyczna

[pajq]

Witam Prosiłbym o pomoc odnośnie tego zadania.
Ciąg {\(\displaystyle{ a_{n}}\)} jest określony rekurencyjnie w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_{1}=2\\a_{n+1}=\frac{2}{2n-1}\end{array}\right.}\)
Wykaż korzystając z zasady indukcji matematycznej, że ciąg {\(\displaystyle{ a_{n}}\)} można określić za pomocą wzoru ogólnego \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2}{2n-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ n \geq 1.}\)

[Sulik]

Coś jest nie tak z tym wzorem rekurencyjnym, w drugim równaniu powinno gdzieś wystąpić \(\displaystyle{ a_n}\)...

[pajq]

Sulik to jest zadanie z rozszerzonej matury z matmy, sesja zimowa, styczeń 2006.
Sprawdzałem poprawność, IMO treść wciąż dobra.

[juzef]

Zadanie 20 z matury różni się istotnie od Twojego, więc sprawdź jeszcze raz.

[Sulik]

Czyli powinno być tak:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_1=2\\a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ a_k=\frac2{2k-1}}\)
1° Zgadza się dla n=1
2° Zał:
\(\displaystyle{ a_k=\frac2{2k-1}}\)
Teza:
\(\displaystyle{ a_{k+1}=\frac2{2(k+1)-1}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ a_{k+1}\quad\left.\begin{array}{c}\mathrm{ze wz. rek.}\\=\end{array}\right.\quad\frac{a_k}{a_k+1}\quad\left.\begin{array}{c}\mathrm{ze zal.}\\=\end{array}\right.\quad\frac{\frac2{2k-1}}{\frac2{2k-1}+1}=\frac{2}{2+2k-1}=\frac2{2(k+1)-1}}\)