Mógłby mi ktoś rozwiązać to zadanie?
\(\displaystyle{ y' = y'' \ln(y')}\)
\(\displaystyle{ y_{(0)} = 0}\)
\(\displaystyle{ y'_{(0)} = 1}\)
Wyznaczyc rozwiazanie problemu poczatakowego
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wyznaczyc rozwiazanie problemu poczatakowego
Podstawmy \(\displaystyle{ u=y'}\).
Mamy po prostych przekształceniach
\(\displaystyle{ 1=u'\cdot \frac{\ln u}{u}}\)
i naturalnie to całkujemy stronami
Policzymy teraz całkę:
\(\displaystyle{ I= \int_{}^{} \frac{\ln t}{t}\,\dd t}\)
Całkując przez części, mamy z dokładnością do stałej
\(\displaystyle{ I= \int_{}^{} (\ln t)'\ln t\,\dd t=\ln^2 t- \int_{}^{} \frac{\ln t}{t}\,\dd t=\\=\ln^2 t-I}\)
czyli
\(\displaystyle{ I=\frac 1 2\ln^2 t+C}\)
Po scałkowaniu tamtego równania stronami dostajemy więc:
\(\displaystyle{ x+C=\frac{1}{2}\ln^2(u)\\ 2(x+C)=\ln^2(u)\\\ln u=\pm\sqrt{2(x+C)}\\ u=\exp\left( \pm\sqrt{2(x+C)}\right)\\ y'(x)=\exp\left( \pm\sqrt{2(x+C)}\right)}\)
Podstawiając teraz \(\displaystyle{ x=0}\) i korzystając z warunku \(\displaystyle{ y'(0)=1}\), mamy
\(\displaystyle{ C=0}\), tj.
\(\displaystyle{ y'(x)=\exp\left( \sqrt{2x}\right) \vee y'(x)=\exp\left( -\sqrt{2x}\right)}\)
Teraz mamy do obliczenia takie dwie podobne całki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{\sqrt{2x}}\,\dd x=\left|\begin{array}{cc} 2x=t^2\\ \,\dd x=t\,\dd t \end{array}\right|=\\= \int_{}^{} t e^t\,\dd t=te^t-e^t+C=\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+C}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{-\sqrt{2x}}\,\dd x\left|\begin{array}{cc}2x=t^2\\ \,\dd x=t\,\dd t \end{array}\right|=\\= \int_{}^{} te^{-t}\,\dd t=-te^{-t}-e^{-t}+C=\\=-\sqrt{2x}e^{-\sqrt{2x}}-e^{-\sqrt{2x}}+C}\)
Czyli
\(\displaystyle{ y(x)=\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+C \vee y(x)=-\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+C}\)
Po skorzystaniu z warunku
\(\displaystyle{ y(0)=0}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ y(x)=\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+1 \vee y(x)=-\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+1}\)
Mamy po prostych przekształceniach
\(\displaystyle{ 1=u'\cdot \frac{\ln u}{u}}\)
i naturalnie to całkujemy stronami
Policzymy teraz całkę:
\(\displaystyle{ I= \int_{}^{} \frac{\ln t}{t}\,\dd t}\)
Całkując przez części, mamy z dokładnością do stałej
\(\displaystyle{ I= \int_{}^{} (\ln t)'\ln t\,\dd t=\ln^2 t- \int_{}^{} \frac{\ln t}{t}\,\dd t=\\=\ln^2 t-I}\)
czyli
\(\displaystyle{ I=\frac 1 2\ln^2 t+C}\)
Po scałkowaniu tamtego równania stronami dostajemy więc:
\(\displaystyle{ x+C=\frac{1}{2}\ln^2(u)\\ 2(x+C)=\ln^2(u)\\\ln u=\pm\sqrt{2(x+C)}\\ u=\exp\left( \pm\sqrt{2(x+C)}\right)\\ y'(x)=\exp\left( \pm\sqrt{2(x+C)}\right)}\)
Podstawiając teraz \(\displaystyle{ x=0}\) i korzystając z warunku \(\displaystyle{ y'(0)=1}\), mamy
\(\displaystyle{ C=0}\), tj.
\(\displaystyle{ y'(x)=\exp\left( \sqrt{2x}\right) \vee y'(x)=\exp\left( -\sqrt{2x}\right)}\)
Teraz mamy do obliczenia takie dwie podobne całki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{\sqrt{2x}}\,\dd x=\left|\begin{array}{cc} 2x=t^2\\ \,\dd x=t\,\dd t \end{array}\right|=\\= \int_{}^{} t e^t\,\dd t=te^t-e^t+C=\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+C}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{-\sqrt{2x}}\,\dd x\left|\begin{array}{cc}2x=t^2\\ \,\dd x=t\,\dd t \end{array}\right|=\\= \int_{}^{} te^{-t}\,\dd t=-te^{-t}-e^{-t}+C=\\=-\sqrt{2x}e^{-\sqrt{2x}}-e^{-\sqrt{2x}}+C}\)
Czyli
\(\displaystyle{ y(x)=\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+C \vee y(x)=-\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+C}\)
Po skorzystaniu z warunku
\(\displaystyle{ y(0)=0}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ y(x)=\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+1 \vee y(x)=-\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+1}\)