wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

[gabi11]

wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 13^{2001}}\)
Proszę o pomoc, bo nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Widziałam podobne zadania na forum, ale ich nie rozumiem.

[Fingon]

\(\displaystyle{ 13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
Z czego wynika, że
\(\displaystyle{ 13^{2000} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
Wystarczy obustronie pomnożyć razy 13 i mamy
\(\displaystyle{ 13^{2001} \equiv 13 \quad \text{(mod 100)}}\)

Czyli ostatnie dwie cyfry \(\displaystyle{ 13^{2001}}\) to 13.

[gabi11]

Dzięki
Obawiam się, że autorowi zadania mogło chodzić o dwie ostatnie liczby? Czyli jeszcze jeśli byś mógł to przedostatnią liczbę poproszę.
Nie wiem o co w tym chodzi, więc może ja teraz mówię głupoty.

[Fingon]

Z pewnością chodzi o dwie ostatnie cyfry, czyli '1' i '3'. Nie wiem czym miałyby być "dwie ostatnie liczby".

[gabi11]

Ok, skoro tak mówisz to widocznie tak jest. Jeszcze raz dzięki

[Bratower]

Skąd wiadomo, że
\(\displaystyle{ 13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)

[a4karo]

Skąd wiadomo, że
\(\displaystyle{ 13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)

W excelu się liczy

[Bratower]

Wydaje mi się, że znalazłem odpowiedź na moje pytanie.
\(\displaystyle{ \boxed{13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}}\)

\(\displaystyle{ {13^{20} \equiv 3^{20} \equiv 3^{4^{5}}\equiv 81^5 \equiv 81^4 \cdot 81 \equiv 61^2 \cdot 81 \equiv 21 \cdot 81\equiv 1 \pmod{100}} \\ {13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)

[Premislav]

Poza tym, że w pewnym miejscu powinno być raczej \(\displaystyle{ (3^4)^5}\) (ale to kwestia zapisu) wygląda OK.
Można też odnotować, że z twierdzenia Eulera mamy \(\displaystyle{ 13^{20}\equiv 1\pmod{25}}\), a ponadto łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ 13\equiv 1\pmod{4}}\), więc i \(\displaystyle{ 13^{20}\equiv 1\pmod{4}}\),
z tej pierwszej informacji widzimy, że \(\displaystyle{ 13^{20}\pmod{100}\in \left\{ 1,26,51,76\right\}}\), a z tej drugiej możemy wykluczyć \(\displaystyle{ 26, \ 51, \ 76}\). Niby to przywalenie dość mocnym narzędziem, ale unikamy zgadywania, jakie to potęgi zredukować.