Miara, sigma ciało zbiorów, dowód

[Dejvid96]

Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{N}=\{A\in \mathcal{M}:\mu(A)=0\}}\), to

1) \(\displaystyle{ \mathcal{N}\neq\emptyset}\) oraz jeśli \(\displaystyle{ A_i\in\mathcal{N}, i\in \mathbb{N}}\), to \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{i}\in\mathcal{N}}\),
2) jeżeli \(\displaystyle{ A\in\mathcal{M}, B\in\mathcal{N}}\) oraz \(\displaystyle{ A\subset B}\), to \(\displaystyle{ A\in\mathcal{N}}\).

[Euler41]

\(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) są sigma-ciałami, czy nie wiadomo?

[Dejvid96]

\(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) są sigma-ciałami, czy nie wiadomo?

\(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) jest na pewno sigma- ciałem. \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) nie jestem pewien, ale wydaje mi się, że skoro jest zapisane w tej formule to oznacza, że to podzbiór elementów z sigma- ciała \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\), więc też jest sigma-ciałem.

[Euler41]

1. Z definicji sigma-ciała wiemy, że \(\displaystyle{ \emptyset \in \mathcal{N}}\) oraz że jego dopełnienie należy do \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\), więc nie jest zbiorem pustym, bo z definicji wynika, że zawiera co najmniej dwa zbiory.

\(\displaystyle{ A_i\in\mathcal{N}, i \in \mathbb{N}}\) jest to zbiór oczywiście równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, zatem znowu wprost z definicji wiemy, że jeśli przeliczalnie wiele zbiorów należy do sigma-ciała, to ich suma również należy do tego sigma-ciała.

Nawiasem mówiąc:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{i}\in\mathcal{N},}\)

masz chyba błąd, albo to ja czegoś nie widzę, ale zamiast \(\displaystyle{ n}\) obstawiałbym, że powinno być \(\displaystyle{ i}\).

2. Ten punkt jest weselszy, bo już coś trzeba zrobić. Może spróbujesz?

[Dejvid96]

Nawiasem mówiąc:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{i}\in\mathcal{N},}\)

masz chyba błąd, albo to ja czegoś nie widzę, ale zamiast \(\displaystyle{ n}\) obstawiałbym, że powinno być \(\displaystyle{ i}\).

2. Ten punkt jest weselszy, bo już coś trzeba zrobić. Może spróbujesz?

Tak, powinno być \(\displaystyle{ i}\), pomyliłem się. Z tym zadaniem jest problem, że nie umiem tego formalnie zapisać. Punkt drugi wydaje się intuicyjnie oczywisty, ale kompletnie nie wiem jak się za to zabrać

[Euler41]

Jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) nie jest sigma-ciałem, a na przykład jakąś rodziną, to masz trochę inaczej punkt pierwszy, też możesz spróbować.

Co do drugiego, to może podam Ci przykład, żeby rozbić (chyba) błędną intuicję:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \mathcal{F}\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ X = \{1,2,3,4 \}, \mathcal{F} = \left\{ \emptyset, \{ 1,2\} , \{ 3,4\} , \{1,2,3,4\} \right\}}\), będzie przestrzenią mierzalną.

Wówczas zbiór: \(\displaystyle{ A = \{ 1 \}}\), \(\displaystyle{ B = \{ 1,2\}}\), więc \(\displaystyle{ A \subset B}\), \(\displaystyle{ B \in \mathcal{F}}\), ale nieprawdą jest, że \(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}}\)

[leg14]

1. Z definicji sigma-ciała wiemy, że \(\displaystyle{ \emptyset \in \mathcal{N}}\) oraz że jego dopełnienie należy do \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\), więc nie jest zbiorem pustym, bo z definicji wynika, że zawiera co najmniej dwa zbiory.

Otóż wlasnie N sigma cialem nie jest

[Euler41]

leg14, zasugerowałem się pierwszą odpowiedzią kolegi. Później dopowiedziałem, że jeśli jest odwrotnie to ma inaczej.

[Dasio11]

Zadanie jest standardowe i zaczyna się tak, jak uczyłeś się na Wstępie do matematyki.

\(\displaystyle{ \mathcal{N}\neq\emptyset}\)

Żeby sprawdzić, że rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) jest niepusta, musisz wskazać dowolny, wybrany przez siebie element tej rodziny. Masz jakiś pomysł?

jeśli \(\displaystyle{ A_i\in\mathcal{N}, i\in \mathbb{N}}\), to \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{i}\in\mathcal{N}}\)

W tej części powinieneś ustalić dowolny ciąg zbiorów \(\displaystyle{ A_i}\) z rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) i udowodnić, że \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i}\) też należy do \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\). Korzystając z definicji tej rodziny

\(\displaystyle{ \mathcal{N}=\{A\in \mathcal{M}:\mu(A)=0\}}\)

odpowiedz sobie na pytania:

(i) co wiemy o zbiorach \(\displaystyle{ A_i}\) ?
(ii) co należy udowodnić?

2) jeżeli \(\displaystyle{ A \in \mathcal{M}, B\in\mathcal{N}}\) oraz \(\displaystyle{ A\subset B}\), to \(\displaystyle{ A\in\mathcal{N}}\).

Znów: powinieneś ustalić dowolny zbiory \(\displaystyle{ A, B}\) spełniające powyższe założenia i udowodnić, że \(\displaystyle{ A \in \mathcal{N}}\). Pierwszym krokiem powinno być, jak zwykle, odczytanie z definicji rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\), co wiesz o ustalonych zbiorach i co masz udowodnić.

\(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) są sigma-ciałami, czy nie wiadomo?

W treści podana jest definicja rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\), więc nie byłoby sensu zakładać o niej dodatkowych własności, bo wszystkie jej własności wynikają z tej definicji. Na marginesie dodam, że tak zdefiniowane \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem tylko w jednej szczególnej i niezbyt ciekawej sytuacji, gdy \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą zerową (co zostawiam jako ćwiczenie).

[Euler41]

\(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) są sigma-ciałami, czy nie wiadomo?

W treści podana jest definicja rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\), więc nie byłoby sensu zakładać o niej dodatkowych własności, bo wszystkie jej własności wynikają z tej definicji. Na marginesie dodam, że tak zdefiniowane \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem tylko w jednej szczególnej i niezbyt ciekawej sytuacji, gdy \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą zerową (co zostawiam jako ćwiczenie).

Bardzo chcę je zrobić, ale co dokładnie jest ćwiczeniem? Pokazanie, że wtedy \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) jest sigma-ciałem, czy wykonanie punktów 1. i 2. w tym szczególnym wypadku?

[Dasio11]

Ćwiczeniem jest pokazanie, że jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem, to \(\displaystyle{ \mu(A) = 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal{M}}\).