Witam, niezbyt rozumiem metodę rozwiązywania tych dwóch typów. Przykładowo mam równanie:
\(\displaystyle{ y=y' x^{2}+x}\). Wiem, że powinienem teraz podstawić p=y' i zróżniczkować obustronnie po x, co w efekcie daje mi:
\(\displaystyle{ p=p' x^{2}+2xp+1}\) Tylko teraz niezbyt mam pomysł jak to zmodyfikować, żeby uzyskać pożądaną formę, ani co robić dalej. Czy mógłby ktoś powiedzieć mi mniej więcej jak rozwiązywać ten typ równań i jak się do tego schematu ma szczególny przypadek Claireaut'a? Z góry dziękuję za pomoc
Równania różniczkowe Lagrange'a i Claireaut'a
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Równania różniczkowe Lagrange'a i Claireaut'a
Czemu chcesz tak robić, zrób za pomocą czynnika całkującego , ładnie wyjdzie, czynnik całkujący wyniesie:
\(\displaystyle{ \mu= \frac{e^{ \frac{1}{x} }}{x^2}}\)
\(\displaystyle{ \mu= \frac{e^{ \frac{1}{x} }}{x^2}}\)
-
Eno_
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 13 sty 2018, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 33 razy
Równania różniczkowe Lagrange'a i Claireaut'a
Znaczy zadanie było w dziale równań Lagrange'a i Claireaut'a i bardziej zależy mi na zrozumieniu metody niż na rozwiązaniu przykładu.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równania różniczkowe Lagrange'a i Claireaut'a
Brian, weź wydaj kolejną płytę (niektóre były świetne), a nie tam nadużywasz apostrofów i popełniasz błędy w pisowni nazwisk. Ten pan tak się nazywał:
i jeśli już chcesz koniecznie odmieniać jego nazwisko, to „Clairauta" a nie „Claireaut'a". Tutaj masz coś na temat odmiany tego typu nazwisk:
Bierzemy równanie:
\(\displaystyle{ y=y' x^{2}+x}\)
Różniczkujemy je stronami po \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ y'=y''x^2+2xy'+1}\)
Przyjmujemy \(\displaystyle{ p=y'}\):
\(\displaystyle{ p'x^2+p(2x-1)+1=0}\)
Równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ p'x^2+p(2x-1)=0}\)
ma rozwiązanie
\(\displaystyle{ p_j(x)=\frac {C} {x^2} e^{-\frac 1 x}}\)
Teraz używamy metody wariacji parametru, niech \(\displaystyle{ C:=C(x)}\) i wstawiamy do równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ p'x^2+p(2x-1)+1=0}\):
\(\displaystyle{ \left( \frac {C(x)} {x^2} e^{-\frac 1 x}\right)'x^2+\left( \frac {C(x)} {x^2} e^{-\frac 1 x}\right)(2x-1)+1=0}\)
i to sobie dolicz (ja tego robić nie zamierzam), wykonując różniczkowanie itd., dostaniesz bardzo proste równanie na \(\displaystyle{ C(x)}\) i wówczas
\(\displaystyle{ p=\frac{C(x)}{x^2}e^{-\frac 1 x}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y'=\frac{C(x)}{x^2}e^{-\frac 1 x}}\),
to całkujesz i bon voyage.
Mogłem pokręcić jakieś nazewnictwo, ale tak to mniej więcej idzie.
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Alexis_Clairauti jeśli już chcesz koniecznie odmieniać jego nazwisko, to „Clairauta" a nie „Claireaut'a". Tutaj masz coś na temat odmiany tego typu nazwisk:
Kod: Zaznacz cały
https://sjp.pwn.pl/zasady/243-66-1-Nazwiska-zakonczone-w-pismie-na-spolgloski-lub-y-po-samoglosce;629618.htmlBierzemy równanie:
\(\displaystyle{ y=y' x^{2}+x}\)
Różniczkujemy je stronami po \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ y'=y''x^2+2xy'+1}\)
Przyjmujemy \(\displaystyle{ p=y'}\):
\(\displaystyle{ p'x^2+p(2x-1)+1=0}\)
Równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ p'x^2+p(2x-1)=0}\)
ma rozwiązanie
\(\displaystyle{ p_j(x)=\frac {C} {x^2} e^{-\frac 1 x}}\)
Teraz używamy metody wariacji parametru, niech \(\displaystyle{ C:=C(x)}\) i wstawiamy do równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ p'x^2+p(2x-1)+1=0}\):
\(\displaystyle{ \left( \frac {C(x)} {x^2} e^{-\frac 1 x}\right)'x^2+\left( \frac {C(x)} {x^2} e^{-\frac 1 x}\right)(2x-1)+1=0}\)
i to sobie dolicz (ja tego robić nie zamierzam), wykonując różniczkowanie itd., dostaniesz bardzo proste równanie na \(\displaystyle{ C(x)}\) i wówczas
\(\displaystyle{ p=\frac{C(x)}{x^2}e^{-\frac 1 x}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y'=\frac{C(x)}{x^2}e^{-\frac 1 x}}\),
to całkujesz i bon voyage.
Mogłem pokręcić jakieś nazewnictwo, ale tak to mniej więcej idzie.