Zachowanie funkcji przy dążeniu do nieskończoności

[illwreakyabonez]

Mam za zadanie obliczyć limes:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } \frac{\sin( \frac{1}{x}) }{\arcctg(x)}}\)
i na pierwszy rzut oka wydaje mi się, że będzie to zero, ponieważ \(\displaystyle{ \sin( \frac{1}{x})}\) w zaistniałej sytuacji dąży do zera, lecz nie wiem jak w tej chwili zachowuje się \(\displaystyle{ \arcctg(x)}\).
Jest to dla mnie pojęcie nowe, ponieważ jestem po maturze, a na studiach takich rzeczy nam nie tłumaczyli, i zapewne już nie wytłumaczą (wydział ekonomiczny). Intuicyjnie wydaje mi się, że arkus kontagens dąży do \(\displaystyle{ - \infty}\), co daje nam \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{- \infty } \right] = 0}\)
Poprawnie rozumuję, czy wygląda to zupełnie inaczej? Autor zadania sugeruje zastosowanie de l'Hospitala

[Benny01]

\(\displaystyle{ \arc \ctg x}\) ma zbiór wartości \(\displaystyle{ \left( 0, \pi \right)}\) i właśnie w nieskończoności dąży do \(\displaystyle{ 0}\)

[illwreakyabonez]

Jak może mieć zbiór od zera do pi, jednocześnie dążąc do zera w nieskończoności?

[Jan Kraszewski]

Tak:

arcctg.png (19.36 KiB) Przejrzano 821 razy

JK

[illwreakyabonez]

Czyli taka kwestia, że trafiłem na niewłaściwy wykres w internecie. Dzięki