Spójność grupy SO(n)

[karolex123]

Cześć,
łatwo można zobaczyć, że grupa obrotów na płaszczyźnie \(\displaystyle{ SO(2)}\) jest spójna (jest homeomorficzna z okręgiem \(\displaystyle{ S^1}\)). A jak jest z grupą \(\displaystyle{ SO(3)}\)? Ktoś zna jakieś ciekawe argumenty za tym, by grupa \(\displaystyle{ SO(3)}\) była spójna?

jeszcze ciekawiej jakby ktoś pokazał drogę między dowolnymi obrotami w \(\displaystyle{ SO(3)}\)

no i oczywiście ten sam problem ogólny dla \(\displaystyle{ SO(n)}\)

[Janusz Tracz]

A \(\displaystyle{ SO(3)}\) nie była by analogiczne homeomorficzna z kulą \(\displaystyle{ S^2}\) albo z kwaternionami o module \(\displaystyle{ 1}\)?

[karolex123]

O jakim homeomorfizmie z kulą mówisz? nie bardzo widzę, żeby taki homeomorfizm istniał
Jeśli chodzi o kwaterniony i homomorfizmy grup, to grupę macierzy unitarnych \(\displaystyle{ SU(2)}\) przekształcić na \(\displaystyle{ SO(3)}\), ale to nie jest izomorfizm

tak czy inaczej można zastanowić się także nad spójnością łukową , znalezieniem explicite drogi

[leg14]

Weź wiązkę \(\displaystyle{ SO(n-1) \rightarrow SO(n) \rightarrow S^{n-1}}\) i zapraszam do indukcji