Obalić lub udowodnić nierówność

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3722
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 359 razy

Obalić lub udowodnić nierówność

Post autor: arek1357 » 25 paź 2018, o 11:59

\(\displaystyle{ x,y>0 , x \in R}\)


\(\displaystyle{ \sqrt[3]{xy}\left( 1+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{9}{1+x+y} \right) \ge \sqrt[3]{ \frac{(x+y)^2}{4} } \left( 1+ \frac{4}{x+y}+ \frac{9}{1+x+y} \right)}\)

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2094
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

Obalić lub udowodnić nierówność

Post autor: Zahion » 25 paź 2018, o 17:49

Dla \(\displaystyle{ x = 1, y = 512}\) mamy, że czynnik przed nawiasem z lewej strony to \(\displaystyle{ 8}\), z prawej \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{513^{2}}{4} } > 40}\) Z lewej strony czynnik w nawiasie mniejszy niż \(\displaystyle{ 3}\) z prawej większy niż \(\displaystyle{ 1}\).
Ogólnie łatwo zauważyć, że przy odpowiednim doborze liczb wpływ mają czynniki przed nawiasami.

ODPOWIEDZ