Równanie krzywej przechodzacej przez poczatek ukladu.

[fluffiq]

Ostatnio spory nacisk na zajęciach z RR mam na zadania z treścią, jednym z nich jest:

Wyznaczyć równanie krzywej przechodzącej przez początek okładu o tej własności, że w każdym punkcie krzywej odcinek normalnej odcięty osiami pierwszej ćwiartki układu współrzędnych ma długość równą 2.

Niestety jak w przypadku zwykłych zdań typu "Oblicz" tak w tym przypadku brakuje mi pomysłu na rozwiązania tego zdania.

[kerajs]

Moim zdaniem taka krzywa nie istnieje, gdyż normalna do niej przechodząca przez środek układu (a taki punkt ma zawierać krzywa) nie może przecinać osi współrzędnych tak, aby powstał odcinek.

Gdyby pominąć podkreślone fragmenty:
Wyznaczyć równanie krzywej (przechodzącej przez początek okładu) o tej własności, że w każdym punkcie krzywej odcinek normalnej odcięty osiami (pierwszej ćwiartki) układu współrzędnych ma długość równą 2.
to r.r można ułożyć:
W punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y0)}\) krzywej równanie normalnej to \(\displaystyle{ y-y_0= \frac{-1}{y'(x_0)}(x-x_0)}\)
Punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych to: \(\displaystyle{ (0, \frac{x_0}{y'(x_0)}+y_0) \ , \ (y_0y'(x_0)+x_0,0)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \sqrt{( \frac{x_0}{y'(x_0)}+y_0)^2+ (y_0y'(x_0)+x_0)^2 }=2}\)
Ponieważ taka zależność jest w każdym punkcie krzywej, to równanie ma postać:
\(\displaystyle{ (yy'+x)^2( \frac{1}{(y')^2}+1)=4}\)
Niestety nie mam pomysłu jak je rozwiązać.