ciąg rekurencyjny

[ann_u]

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) rekurencyjny zdefiniowany tak że \(\displaystyle{ x_1=3, x_{n+1} = \lfloor{ \sqrt{2} x_{n}}\rfloor}\) , dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) . Znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ m}\) takie że \(\displaystyle{ x_m,x_{m+1},x_{m+2}}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

[Zahion]

Skoro ma być to ciąg arytmetyczny to
\(\displaystyle{ x_{m+1}+x_{m-1} = 2x_{m}}\).
Mamy, że
\(\displaystyle{ x_{m+1} =\left[ \sqrt{2}x_{m} \right] = \left[ \sqrt{2}\left[ \sqrt{2}x_{m-1} \right] \right]}\)
Stąd musi zachodzić
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt{2}\left[ \sqrt{2}x_{m-1} \right] \right] + x_{m-1} = 2\left[ \sqrt{2}x_{m-1} \right]}\)
Teraz wystarczy skorzystać z nierówności \(\displaystyle{ x - 1 \le \left[ x \right] \le x}\), otrzymując
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt{2}\left[ \sqrt{2}x_{m-1} \right] \right] + x_{m-1} \ge \left[ 2x_{m-1} - \sqrt{2} \right] + x_{m-1} = 3x_{m-1} - 2}\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ 2\left[ \sqrt{2}x_{m-1} \right] \le 2 \sqrt{2}x_{m-1}}\), skąd musi zajść
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}x_{m-1} \ge 3x_{m-1} - 2}\), a to możliwe dla \(\displaystyle{ 0 \le x_{m-1} \le 11}\)
Mamy natomiast \(\displaystyle{ x_{1} = 3, x_{2} = 4, x_{3} = 5, x_{4} = 7, x_{5} = 9. x_{6} = 12}\).
Skąd \(\displaystyle{ m = 1}\) oraz \(\displaystyle{ m = 3}\).
Warto sprawdzić czy się gdzieś nie pomyliłem.