Calka powierzchniowa z trudnym obszarem

[Pasza09]

Jakby coś to przepraszam że bez latexa Ale pisze na komórce. Mam policzyć pole wycinka wykresu funkcji
\(\displaystyle{ z= \sqrt{1- x^{2}-y^{2} }}\) położonym ponad obszarem \(\displaystyle{ D}\) płaszczyzny określonym przez nierówności \(\displaystyle{ \left| y\right| \le \frac{1}{2} , \left| x\right| \le \sqrt{1-y^{2} }}\) Wszystko by było ok Ale wychodzi mi calka \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \int_{0}^{ \frac{ \phi }{ \pi }+ \frac{1}{2} } \frac{r}{ \sqrt{1-r^{2} } }drd\phi}\) co niezbyt fajnie się liczy i nie wiem czy w ogóle dobrze to robię. Jak coś ta calka jest dla jedno z wycinkow który powstaje jak sobie narysujemy ta płaszczyznę to wychodzi takie koło odcięte z dwóch stron, i ta calka wychodzi właśnie stamtąd.

[janusz47]

Całka powierzchniowa niezorientowana po części powierzchni górnej półsfery jednostkowej, wyciętej przez dwie równoległe półpłaszczyzny o równaniach \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}.}\)

Proszę wykonać rysunek, zapisać odcinek koła w płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy}\) oraz element płata powierzchniowego we współrzędnych biegunowych oraz skorzystać z definicji całki powierzchniowej.

[Pasza09]

No właśnie tak zrobiłem i wychodzi mi takie coś
\(\displaystyle{ 4 \int_{0}^{ \pi /6} \int_{0}^{ -\frac{\phi}{\pi}+ 1} \frac{r}{ \sqrt{1-r^2} } drd\phi+ 4 \int_{0}^{ \frac{\pi}{6} } \int_{0}^{1} \frac{r}{ \sqrt{1-r^2} } drd\phi}\)

[janusz47]

Cztery całki od zera do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) i od zera do \(\displaystyle{ \cos(\phi).}\)

Skąd taka granica \(\displaystyle{ \frac{\phi}{\pi}+\frac{1}{2}?}\)

Nie bardzo rozumiem, skąd wzięła się druga całka? Domyślam się że chodzi o dwie powierzchnie pozostałe z wycięcia powierzchni półsfery płaszczyznami.

[Pasza09]

Tak pozostają takie trójkąty które też należałoby uwzględnić

-- 20 paź 2018, o 16:46 --

Z tymi 4 calkami po granicach które napisałeś się zgadzam chociaż tam można tego cos na 1 po prostu zamienić Ale właśnie zostają te trojkaty, zadanie było na egzaminie gdzie było razem 6 zadań więc sądzę że powinna być jakaś metoda w miarę łatwa do policzenia bo całkowanie po x i y tamtych obszarów nie jest za fajne-- 20 paź 2018, o 17:09 --Dobra już poprawiłem i wychodzi tamtą dziwna granicę trochę źle napisałem powinno być minus i zamiast 1/2 To 1 już coś ladniejszego wyszło co pewnie da sie policzyć bo wyszła mi calka z fi do kwadratu i z fi