Dowolne nawiasowanie dzialania lacznego.

[mik155]

Dzien dobry / Dobry wieczor

Chcialbym pokazac, ze formule logiczna zbudowana z \(\displaystyle{ \longleftrightarrow}\) mozna dowolnie nawiasowac.
Domyslam sie, ze mozna to zrobic za pomoca indukcji po ilosci wystapien \(\displaystyle{ \longleftrightarrow}\).

\(\displaystyle{ n = 2 \newline
a \longleftrightarrow(b \longleftrightarrow c) = (a \longleftrightarrow b) \longleftrightarrow c}\) co wynika z lacznosci

\(\displaystyle{ a_{0} \longleftrightarrow a_{1} \longleftrightarrow a_{2} ... \longleftrightarrow a_{n+1}}\) dowolnie ponawiasowane
\(\displaystyle{ \begin{center}\Downarrow \end{center}}\)
\(\displaystyle{ a_{0} \longleftrightarrow a_{1} \longleftrightarrow a_{2} ... \longleftrightarrow a_{n+2}}\) dowolnie nawiasowane

Nie za bardzo wiem jak to pociagnac w kroku indukcyjnym.

Pozdrawiam
Mikolaj

[Euler41]

Można po prostu potraktować wiele równoważności jako "jedno" i dalej korzystać z łączności, a gdzie damy nawias nie ma znaczenia, to zapewnia nam z kolei przemienność równoważności.

[mik155]

Dowolnosc stawiania nawiasow w formule nie wynika juz z samej lacznosci ?

[matmatmm]

Przede wszystkim trzeba odpowiednio sformułować tezę zadania, gdyż mimo, że sformułowanie "kolejność nawiasowania" jest intuicyjnie jasne, to trzeba je przełożyć na język matematyczny. Zaproponuję coś takiego:

Dla dowolnego skończonego ciągu zmiennych zdaniowych \(\displaystyle{ (a_1,\ldots,a_n)}\) i dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\) zbioru \(\displaystyle{ \{1,\ldots,n-1\}}\) należy podać definicję formuły złożonej z samych równoważności takiej, że kolejne wartości \(\displaystyle{ \sigma}\) odpowiadają odpowiadają kolejności stawiania nawiasów. Pokażę to na przykładzie.

Weźmy ciąg \(\displaystyle{ (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)}\) i permutację \(\displaystyle{ \sigma=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{array}\right)}\)

Odpowiadająca formuła będzie miała postać:

\(\displaystyle{ \left( \left( a_1\leftrightarrow (a_2 \leftrightarrow a_3)\right) \leftrightarrow \left( a_4 \leftrightarrow a_5\right)\right)}\)

W tej chwili za bardzo nie wiem, jak dokładnie powinna wyglądać ta definicja. Może później się zastanowię.

Dowolnosc stawiania nawiasow w formule nie wynika juz z samej lacznosci ?

Tak. Przemienność nie jest tu potrzebna.