Dwa zadania z indukcji

[MRraz]

Witam. Mam problem z dwoma zadaniami z indukcji matematycznej. Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc

1.

Niech \(\displaystyle{ \left( a_n \right) _{n \in \NN}}\) bedzie ciagiem spelniajacym następujace warunki:
\(\displaystyle{ a _{1} =1 ,\\
a _{n} = 2 a _{n-1} + 1\mbox{ dla }n \ge 2.

\sqrt{}}\) Wykaz, ze \(\displaystyle{ a _{n} = 2 ^{n}-1}\) dla \(\displaystyle{ a _{n}}\)
Krok pierwszy jest dla mnie oczywisty aczkolwiek nie mam żadnego pomysłu na krok drugi ;/


2.

Udowodnij, ze

Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } \le 2 \sqrt{n} -1}\).

Tutaj mam problem z rozwiązaniem drugiego kroku indukcyjnego.
Otrzymałam poniższą nierównosć :
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{k} } -2 \sqrt{n+1} +1= \sum_{k=1}^{n} + \frac{1}{ \sqrt{n+1} }-2 \sqrt{n+1} +1 \le 2 \sqrt{n} -1+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} }-2 \sqrt{n+1} +1=2 \sqrt{n}-1+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} } -2 \sqrt{n+1} \le ????}\)
Wiadomo że musimy udowodnić że wyrażenie to jest mniejsze lub równe zeru.
Sprowadzane do wspólnego mianownika za dużo mi nie dało
Dalej nie mam pomysłu co z tym zrobić ;/

Z góry dziękuję za pomoc

[a4karo]

Ale zrób coś sama

[adminek]

\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 2^{1} -1=1}\)
baza indukcji
\(\displaystyle{ a_{2} =2*1+1= 2^{2} -1}\)
krok indukcyjny
zakładamy że dla \(\displaystyle{ n}\) zachodzi
\(\displaystyle{ a _{n} = 2^{n} -1}\)
musimy udowodnić dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ a _{n+1} =2( 2^{n} -1) +1= 2^{n+1} -1}\)
c.n.d.

[MRraz]

@adminek
A skąd wziąłeś to przekształcenie \(\displaystyle{ a_{n+1} =???}\)

[Euler41]

zakładamy że dla każdego \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ a _{n} =2 a_{n-1} +1= 2^{n} -1}\)

Zakładasz tezę, czy mi się wydaje?

[Jan Kraszewski]

zakładamy że dla każdego \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ a _{n} =2 a_{n-1} +1= 2^{n} -1}\)

Jeden z najbardziej klasycznych błędów w dowodach indukcyjnych - właśnie założyłeś tezę zadania, możesz skończyć "dowód"...

Poprawnie:
Ustalasz takie \(\displaystyle{ n}\), że zachodzi
\(\displaystyle{ a _{n} =2^{n} -1}\)
i pokazujesz, że wtedy zachodzi także
\(\displaystyle{ a _{n+1} =2^{n+1} -1.}\)

JK

[adminek]

*baza indukcji
\(\displaystyle{ n=2\\
a_{2} =2 \cdot a_{1} +1= 2^{2} -1\\
a_{n+1} =2 \cdot a _{n} +1}\)
wziąłem to ze wzoru \(\displaystyle{ a_{n} =2 a_{n-1} +1}\)
przepraszam za błędy to mój pierwszy post i troche sie w tym gubie

[Euler41]

i pokazujesz, że wtedy zachodzi także
\(\displaystyle{ a _{n+1} =2^{n+1} -1.}\)

JK

Jak to pokazać? Nie bardzo widzę co tutaj można pokazywać, tak na mocy naszego założenia jest i już.

[Jan Kraszewski]

*baza indukcji
\(\displaystyle{ n=2\\
a_{2} =2 \cdot a_{1} +1= 2^{2} -1\\
a_{n+1} =2 \cdot a _{n} +1}\)
wziąłem to ze wzoru \(\displaystyle{ a_{n} =2 a_{n-1} +1}\)
przepraszam za błędy to mój pierwszy post i troche sie w tym gubie

Chyba istotnie trochę się gubisz. W Twoim pierwszym poście rachunki były poprawne (choć trochę zbyt skrótowe), natomiast komentarz był do niczego. Sprawdzanie dla \(\displaystyle{ n=2}\) jest zupełnie zbędne.

JK