Udowodnić relację równoważności

[Sachato]

Mam udowodnić, że dana relacja jest równoważna

\(\displaystyle{ \delta \subseteq \RR^{2}_{+} \times \RR^{2}_{+} , \forall_{(n,m),(a,b)\in \RR^{2}_{+}} [(n,m) \delta (a,b) \Leftrightarrow n \cdot m=a \cdot b]}\)

a gdy podstawiam pierwsze lepsze liczby \(\displaystyle{ (2.5,3.5)}\) i \(\displaystyle{ (4.5,5.5)}\) to symetryczność nie zachodzi.

Chyba, że ja to po prostu źle rozumiem i muszę wybrać pary liczb, w których ta relacja zachodzi, czyli pary liczb które wyznaczyłem nie mogą zostać wybrane i muszę wybrać pary takie jak \(\displaystyle{ (2.5,3.5)}\) i \(\displaystyle{ (3.5,2.5)}\).

Jeżeli tak, to w przechodniości, będę musiał użyć jakiejś innej pary liczb i jak użyję pary \(\displaystyle{ (8.75, 1)}\), to powinno być dobrze, prawda?

Jeszcze mam zadanie- Udowodnij, że relacja podzielności określona na liczbach naturalnych dodatnich jest częściowym porządkiem.

Czyli mogę tutaj sobie wziąć coś takiego:

\(\displaystyle{ xRy \forall_{x,y\in\NN} [(x,y)\Leftrightarrow x|y]}\)

i po prostu zbadać zwrotność antysymetryczność i przechodniość dla par \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), które pasują w tej relacji, czyli chociażby \(\displaystyle{ (3,6) , (5,10)}\), tak?

[karolex123]

Chyba, że ja to po prostu źle rozumiem i muszę wybrać pary liczb, w których ta relacja zachodzi, czyli pary liczb które wyznaczyłem nie mogą zostać wybrane i muszę wybrać pary takie jak \(\displaystyle{ (2.5,3.5)}\) i \(\displaystyle{ (3.5,2.5)}\).

No nie. Masz sprawdzić, że \(\displaystyle{ \delta}\) jest relacją równoważności.
Relacja \(\displaystyle{ \delta}\) jest symetryczna; istotnie, jeśli \(\displaystyle{ (x,y) \delta (a,b)}\), to \(\displaystyle{ xy=ab}\), a więc także \(\displaystyle{ ab=xy}\), tj. \(\displaystyle{ (a,b) \delta (x,y)}\). Skąd zatem takie coś:

a gdy podstawiam pierwsze lepsze liczby \(\displaystyle{ (2.5,3.5)}\) i \(\displaystyle{ (4.5,5.5)}\) to symetryczność nie zachodzi.

?? Przecież te dwie pary nie są ze sobą w relacji \(\displaystyle{ \delta}\).. Zdaje się, że źle interpretujesz warunki na to, by pewna relacja była równoważnością-- 13 paź 2018, o 12:21 --

Jeżeli tak, to w przechodniości, będę musiał użyć jakiejś innej pary liczb i jak użyję pary \(\displaystyle{ (8.75, 1)}\), to powinno być dobrze, prawda?

Tego nie rozumiem; co jest szczególnego w parze \(\displaystyle{ (8.75,1)}\)? I co to ma wspólnego z przechodniością relacji \(\displaystyle{ \delta}\)? Twoim zadaniem jest wykazanie, że \(\displaystyle{ \delta}\) jest przechodnia, tj. jeżeli \(\displaystyle{ (x,y)\delta (a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ (a,b) \delta (n,m)}\), to wówczas \(\displaystyle{ (x,y) \delta (n,m)}\), co jest naprawdę nietrudne, żeby nie powiedzieć, że to jest tautologia..

[Jan Kraszewski]

Mam udowodnić, że dana relacja jest równoważna

Nie istnieje coś takiego jak relacja równoważna. Mamy za to relację równoważności.

Chyba, że ja to po prostu źle rozumiem i muszę wybrać pary liczb, w których ta relacja zachodzi, czyli pary liczb które wyznaczyłem nie mogą zostać wybrane i muszę wybrać pary takie jak \(\displaystyle{ (2.5,3.5)}\) i \(\displaystyle{ (3.5,2.5)}\).

Jeżeli tak, to w przechodniości, będę musiał użyć jakiejś innej pary liczb i jak użyję pary \(\displaystyle{ (8.75, 1)}\), to powinno być dobrze, prawda?

Wydaje się, że możesz nie rozumieć, iż tych własności nie sprawdza się na konkretnych parach, tylko prowadząc ogóle rozumowania.

Czyli mogę tutaj sobie wziąć coś takiego:

\(\displaystyle{ xRy \forall_{x,y\in\NN} [(x,y)\Leftrightarrow x|y]}\)

To co napisałeś powyżej nie ma sensu.

i po prostu zbadać zwrotność antysymetryczność i przechodniość dla par \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), które pasują w tej relacji, czyli chociażby \(\displaystyle{ (3,6) , (5,10)}\), tak?

Znów ten sam błąd - własności nie sprawdza się na konkretnych parach. Poza tym inaczej sprawdza się np. zwrotność, a inaczej przechodniość itd. Musisz nauczyć się czytać definicje ze zrozumieniem.

JK

[Sachato]

No dobra, w takim razie jak wygląda taki dowód?

\(\displaystyle{ \delta \subseteq \RR^{2}_{+} \times \RR^{2}_{+} , \forall_{(n,m),(a,b)\in \RR^{2}_{+}} [(n,m) \delta (a,b) \Leftrightarrow n \cdot m=a \cdot b]}\)

wiem że zwrotna relacja to będzie:

\(\displaystyle{ (n,m) \delta (n,m) \Leftrightarrow n \cdot m=n \cdot m}\)

co jest prawdziwe i nie wiem jak to dalej udowodnić,

symetryczność:

\(\displaystyle{ (n,m) \delta (a,b) \Leftrightarrow n \cdot m=a \cdot b \Rightarrow (a,b) \delta (n,m) \Leftrightarrow a \cdot b= n \cdot m}\)

przechodniość:

skoro \(\displaystyle{ (n,m) \delta (a,b)}\) i \(\displaystyle{ (a,b) \delta (c,d)}\) to \(\displaystyle{ (n,m) \delta (c,d)}\) i co w takim przypadku dalej robić?

Dodatkowo oprócz dowodu w zadaniu mam wyznaczyć odpowiednie zbiory liczbowe. Wydaje mi się, że zbiór ilorazowy jest napisany tutaj:

\(\displaystyle{ \delta \subseteq \RR^{2}_{+} \times \RR^{2}_{+} , \forall_{(n,m),(a,b)\in \RR^{2}_{+}}}\)

poprawcie mnie jeśli się mylę. Czyli w zadaniu mam podać znowu to samo?

tylko prowadząc ogóle rozumowania.

czy to jest "ogólne rozumowanie"?

[Jan Kraszewski]

wiem że zwrotna relacja to będzie:

\(\displaystyle{ (n,m) \delta (n,m) \Leftrightarrow n \cdot m=n \cdot m}\)

co jest prawdziwe i nie wiem jak to dalej udowodnić,

To jest koniec dowodu. Oczywiście wypadałoby napisać wcześniej, że ustalasz dowolne \(\displaystyle{ (n,m)\in\RR^2_+}\).

symetryczność:

\(\displaystyle{ (n,m) \delta (a,b) \Leftrightarrow n \cdot m=a \cdot b \Rightarrow (a,b) \delta (n,m) \Leftrightarrow a \cdot b= n \cdot m}\)

Źle - kolejność zapisów jest istotna. Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ (n,m),(a,b)\in \RR^2_+}\) taie, że \(\displaystyle{ (n,m) \delta (a,b)}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ n \cdot m=a \cdot b}\), zatem \(\displaystyle{ a \cdot b= n \cdot m}\), czyli \(\displaystyle{ (a,b) \delta (n,m)}\), co należało dowieść.

przechodniość:

skoro \(\displaystyle{ (n,m) \delta (a,b)}\) i \(\displaystyle{ (a,b) \delta (c,d)}\) to \(\displaystyle{ (n,m) \delta (c,d)}\) i co w takim przypadku dalej robić?

Właśnie to masz udowodnić. Popatrz na mój dowód powyżej.

Dodatkowo oprócz dowodu w zadaniu mam wyznaczyć odpowiednie zbiory liczbowe. Wydaje mi się, że zbiór ilorazowy jest napisany tutaj:

\(\displaystyle{ \delta \subseteq \RR^{2}_{+} \times \RR^{2}_{+} , \forall_{(n,m),(a,b)\in \RR^{2}_{+}}}\)

poprawcie mnie jeśli się mylę. Czyli w zadaniu mam podać znowu to samo?

Mylisz się. "Tutaj" nie ma żadnego zbioru ilorazowego - chyba nie bardzo wiesz, co to jest.

czy to jest "ogólne rozumowanie"?

Tak.

JK

[Sachato]

Dzięki za poprzednie wiadomości, bardzo to było pomocne.

Mylisz się. "Tutaj" nie ma żadnego zbioru ilorazowego - chyba nie bardzo wiesz, co to jest.

jeżeli chodzi o zbiór ilorazowy, to wiem że muszę wyznaczyć wspólną cechę tej relacji, dodatkowo dobrze jest jakbym użył do tego elementów, które należą do zbioru, który zawiera się w tej relacji na pewno.

[Jan Kraszewski]

Może to: 308032.htm#p4974249 Ci pomoże.

JK

[Sachato]

Dalej nie jest to dla mnie jasne.

Wydaje mi się, że aby wyznaczyć zbiór ilorazowy, muszę po prostu zrozumieć tą relację i dojść do wniosku jakie liczby podstawione do tej relacji mogłyby dać poprawny "wynik", następnie muszę stworzyć zbiór dla których ten "wynik" zachodzi.

Jak dla mnie

\(\displaystyle{ \left\{ n\in \RR^{2}_{+} \wedge m\in \RR^{2}_{+} \wedge a\in \RR^{2}_{+} \wedge b\in \RR^{2}_{+}\right\}}\)

[a4karo]

Dwie pary liczb są w relacji, gdy iloczyny ich elementów są równe. Spróbuj napisać wszystkie pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) które są w relacji z parą \(\displaystyle{ (1,1)}\). Czy potrafisz narysować ten zbiór (to będzie klasa abstrakcji elementu \(\displaystyle{ (1,1)}\) (oraz każdego innego, który jest z nim w relacji).

Zrób to samo dla pary \(\displaystyle{ (\sqrt{2},\sqrt{2})}\). A potem dla pary \(\displaystyle{ (-1,4)}\).

Co zauważasz?

[Jan Kraszewski]

Wydaje mi się, że aby wyznaczyć zbiór ilorazowy, muszę po prostu zrozumieć tą relację

Zgadza się.

i dojść do wniosku jakie liczby podstawione do tej relacji mogłyby dać poprawny "wynik", następnie muszę stworzyć zbiór dla których ten "wynik" zachodzi.

A ta część sugeruje, że możesz nie rozumieć samej definicji zbioru ilorazowego. Zbiór ilorazowy to rozbicie (w tym wypadku) \(\displaystyle{ \RR^2_+}\), czyli rodzina parami rozłącznych podzbiorów płaszczyzny, które w sumie dają całą płaszczyznę. Odpowiedzią musi być zatem zbiór podzbiorów \(\displaystyle{ \RR^2_+}\).

Jak dla mnie

\(\displaystyle{ \left\{ n\in \RR^{2}_{+} \wedge m\in \RR^{2}_{+} \wedge a\in \RR^{2}_{+} \wedge b\in \RR^{2}_{+}\right\}}\)

A tutaj pojawia się dodatkowy problem, ponieważ zapis, który stworzyłeś powyżej, w ogóle nie ma sensu (niezależnie od tego, co chciałeś przekazać).

JK