Sprawdzić badanie zbieżności ciągu.

[Big_Boss1997]

1) Proszę sprawdzić czy poprawnie zbadałem zbieżność ciągów:

\(\displaystyle{ a_{1} = a > 0, a_{n+1} = \ln \left( 1 + a_{n} \right)}\)

Czy ciąg jest małejący?

Z: \(\displaystyle{ a_{n+1} < a _{n} \Rightarrow \ln \left( 1 + a _{n+1} \right) < \ln \left( 1 + a _{n} \right) \Rightarrow \ln \left( \frac{1 + a_{n+1} }{1 + a_{n} } \right) < 0}\) - jest prawidłowo, bo \(\displaystyle{ 1 + a_{n+1} < 1 + a_{n}}\).

Czy ciąg jest ograniczony?

Z: \(\displaystyle{ a_{n} > 0}\)
T: \(\displaystyle{ a_{n+1} > 0}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1} = \ln \left( 1 + a_{n} \right) > 0}\), bo \(\displaystyle{ a_{n} > 0 \Rightarrow 1 + a_{n+1} > 1}\)

Granica:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n} = g \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_{n+1} = g}\)

\(\displaystyle{ \ln \left( 1 + g \right) = g \Leftrightarrow e^{g} = 1 + g \Rightarrow g = 0}\)

2) \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 2^{n} }{n!}}\)

Czy ciąg jest słabo małejący?

Z: \(\displaystyle{ a_{n+1} \le a_{n}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} \le 0 \Rightarrow \frac{ 2^{n+1} }{ \left( n+1 \right) !} - \frac{ 2^{n} }{n!} \le 0 \Rightarrow \frac{2 \cdot 2^{n} - 2^{n} \left( n + 1 \right) }{n! \left( n+1 \right) } = \frac{ 2^{n} \left( 1 - n \right) }{n! \left( n +1 \right) } \le 0}\) - prawidłowo.

Czy ciąg jest ograniczony?

Z: \(\displaystyle{ a_{n}> 0}\)
T: \(\displaystyle{ a_{n + 1} > 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{ 2^{n+1} }{ \left( n+1 \right) !} > 0 \Rightarrow \frac{ 2^{n} }{n!} \cdot \frac{2}{n + 1} > 0}\) - tak, bo \(\displaystyle{ \frac{ 2^{n} }{n!} = a_{n} > 0}\)

Tylko tu nie wiem jak obliczyć granicę \(\displaystyle{ g}\).

Z góry dziękuję!

[Janusz Tracz]

Czy ciąg jest małejący?
Z: \(\displaystyle{ a_{n+1} < a _{n} \Rightarrow ln(1 + a _{n+1}) < ln(1 + a _{n} ) \Rightarrow ln( \frac{1 + a_{n+1} }{1 + a_{n} } ) < 0}\) - jest prawidłowo, bo \(\displaystyle{ 1 + a_{n+1} < 1 + a_{n}}\).

Coś blefujesz. Ogólnie dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy \(\displaystyle{ \ln(1+x) \le x}\) co widać ze jak policzysz styczną do logarytmu. Albo rozwiń z Taylora \(\displaystyle{ e^x}\) do drugiego wyrazu i oszacuj a następnie zlogarytmuj. Nierówność ta daje możliwość zapisania że \(\displaystyle{ \ln(1+a_n) \le a_n}\) a to zważywszy na definicję tego ciągu to \(\displaystyle{ a_{n+1} \ge a_n}\) co oznacza że ciąg maleje. Wypada pokazać tu że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest dodatni by legalnie korzystać z tej nierówności (to już niebawem).

Czy ciąg jest ograniczony?
Z: \(\displaystyle{ a_{n} > 0}\)
T: \(\displaystyle{ a_{n+1} > 0}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = ln(1 + a_{n}) > 0, bo a_{n} > 0 \Rightarrow 1 + a_{n+1} > 1}\)

No domyślam się że to miała być indukcja która pokazuje że ciąg jest ograniczony z dołu ale warto o tym napisać, przynajmniej że masz zamiar przeprowadzać dowód indukcyjny. Już nie proszę o powołanie się na tw o indukcji. Zabrakło też sprawdzenia że dla \(\displaystyle{ n=1}\) wszystko jest ok. Samo wnioskowanie też jest podejrzane (choć prawie nic nie napisałeś więc nie wiem).

spr \(\displaystyle{ n=1}\) jest ok. Teraz zauważmy że \(\displaystyle{ a_{n+1}>0}\) przy założeniu indukcyjnym \(\displaystyle{ a_n>0}\). Mamy więc równoważnie \(\displaystyle{ \ln(1+a_n)>0}\) i równoważnie \(\displaystyle{ 1+a_n>1}\) czyli \(\displaystyle{ a_n>0}\). Co na mocy tw indukcji kończy dowód ograniczoności z dołu przez \(\displaystyle{ 0}\).

Granica:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n} = g \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_{n+1} = g}\)
\(\displaystyle{ ln(1 + g) = g \Leftrightarrow e^{g} = 1 + g \Rightarrow g = 0}\)

Trochę mało tekstu ale jest ok. Takie metody są dozwolone ponieważ wiemy że ta granica istnieje wszak pokazaliśmy monotoniczność i ograniczoność co warto napisać.

Co do podpunktu 2) to monotoniczność wygląda ok, ograniczoność znowu brakuje sprawdzenia bazy choć dowód indukcyjny to lekka przesada w tym miejscu. Fakt że \(\displaystyle{ a_n>0}\) widać dość wyraźnie. A granice możesz policzyć na przykład z trzech ciągów zauważając że

\(\displaystyle{ 0 \le a_n \le \frac{1}{n}}\)

dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) (formalizuj indukcją).

[Big_Boss1997]

Janusz Tracz, Dziękuję. Uczę się to robić ale mam za mało dokładnych przykładów.

[Janusz Tracz]

Aha jeszcze tak mi przyszło do głowy. Powiedzmy że liczymy granicą \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2^n}{n!}}\) można to zrobić tak jak mówiłem ale można zauważyć że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{2^n}{n!} =e^2}\) więc \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2^n}{n!}=0}\) bo inaczej warunek konieczny nie był by spełniony (a jest spełniony jak widać).