Jak sprawdzić, czy ten ciąg jest ograniczony?
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{ 2^{n} } \right)}\)
Czy ciąg jest ograniczony?
-
Big_Boss1997
- Użytkownik
- Posty: 149
- Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 64 razy
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Czy ciąg jest ograniczony?
Można na przykład zauważyć że zachodzi \(\displaystyle{ 1+x \le e^x}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) więc zachodzi również
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n}\left( 1+x_k\right) \le \exp\left( \sum_{k=1}^{n}x_k\right)}\)
kładąc \(\displaystyle{ x_k= \frac{1}{2^k}}\) dostajemy że
\(\displaystyle{ a_n\le \exp\left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}\right)<e}\)
ograniczenie dolne to oczywiście \(\displaystyle{ 0}\) więc ciąg jest ograniczony.
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n}\left( 1+x_k\right) \le \exp\left( \sum_{k=1}^{n}x_k\right)}\)
kładąc \(\displaystyle{ x_k= \frac{1}{2^k}}\) dostajemy że
\(\displaystyle{ a_n\le \exp\left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}\right)<e}\)
ograniczenie dolne to oczywiście \(\displaystyle{ 0}\) więc ciąg jest ograniczony.