Wyznaczyć moment bezwładności względem osi \(\displaystyle{ Oz}\) zwoju linii śrubowej
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= 3 \cos(t) \\ y = 3 \sin(t) \\ z=2t \end{cases}}\)
dla \(\displaystyle{ 0 \leq t \leq 2\pi}\),
Jeśli gęstość masy \(\displaystyle{ \lambda (x, y, z)= z}\)
Moment bezwładności śruby
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
kruszewski
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Moment bezwładności śruby
Promień walca na który nawiniętej linii śrubowej, promień jej środków:
\(\displaystyle{ r^2 = x^2 + y^2 = \left((3 \cos (t) \right) ^2 + \left( 3 \sin (t)\right)^2 =3^2}\)
stąd: \(\displaystyle{ r= \sqrt{3^2} = 3}\)
Gęstość linii jest zmienna wg liniowej zależności :
\(\displaystyle{ \lambda = z = 2t}\)
gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest kątem obrotu promienia względem osi walca podziałowego.
Zauważmy, że moment bezwładności \(\displaystyle{ J_z}\) tej linii względem osi walca podziałowego nie zależy od skoku \(\displaystyle{ P}\) linii śrubowej a od ilości zwojów \(\displaystyle{ i}\) , promienia nawinięcia \(\displaystyle{ r}\) i masy linii i jest momentem biegunowym rzutu tej linii na płaszczyznę prostopadłą do osi walca podziałowego o masie \(\displaystyle{ i}\) krotnie większej od masy jednego zwoju, obliczonym względem punktu przebicia płaszczyzny prostopadłej do osi walca podziałowego osią podłużną.
W zadaniu, gęstość linii zmienia się wprost proporcjonalnie do kąta \(\displaystyle{ t}\), i dla \(\displaystyle{ t = 0 \ \lambda_{t=0} =0}\)
Na końcu jednego skoku linii, czyli dla \(\displaystyle{ z = 2t = 2 \cdot 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ \lambda _ {t=2 \pi } = 4 \pi}\)
Średnia gęstość linii \(\displaystyle{ \overline{\lambda} = \frac{1}{2} \left( \lambda_{t=0} + \lambda_{t=2 \pi } \right)= \frac{1}{2} \lambda_{t=2 \pi} = 2 \pi}\)
Masa linii: \(\displaystyle{ m = \overline{\lambda} \cdot l}\)
a jej długość: \(\displaystyle{ l = \sqrt{P^2 +(2 \pi r)^2 } = \sqrt{(2t)^(2 \pi r)^2 }}\)
\(\displaystyle{ l = \sqrt{(2 \cdot 2 \pi)^2 + (2 \pi )^2 \cdot 3^2 } = 2 \pi \sqrt{13}}\)
zatem masa linii \(\displaystyle{ m = 2 \pi \cdot 2 \pi \sqrt{13}= 4 \pi ^2 \sqrt{13}}\)
a jej moment bezwładności względem osi walca podziałowego
\(\displaystyle{ J_z = mr^2 = 4 \pi ^2 \sqrt{13} \cdot 3^2 = 52 \pi ^2 \sqrt{13}}\)
\(\displaystyle{ r^2 = x^2 + y^2 = \left((3 \cos (t) \right) ^2 + \left( 3 \sin (t)\right)^2 =3^2}\)
stąd: \(\displaystyle{ r= \sqrt{3^2} = 3}\)
Gęstość linii jest zmienna wg liniowej zależności :
\(\displaystyle{ \lambda = z = 2t}\)
gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest kątem obrotu promienia względem osi walca podziałowego.
Zauważmy, że moment bezwładności \(\displaystyle{ J_z}\) tej linii względem osi walca podziałowego nie zależy od skoku \(\displaystyle{ P}\) linii śrubowej a od ilości zwojów \(\displaystyle{ i}\) , promienia nawinięcia \(\displaystyle{ r}\) i masy linii i jest momentem biegunowym rzutu tej linii na płaszczyznę prostopadłą do osi walca podziałowego o masie \(\displaystyle{ i}\) krotnie większej od masy jednego zwoju, obliczonym względem punktu przebicia płaszczyzny prostopadłej do osi walca podziałowego osią podłużną.
W zadaniu, gęstość linii zmienia się wprost proporcjonalnie do kąta \(\displaystyle{ t}\), i dla \(\displaystyle{ t = 0 \ \lambda_{t=0} =0}\)
Na końcu jednego skoku linii, czyli dla \(\displaystyle{ z = 2t = 2 \cdot 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ \lambda _ {t=2 \pi } = 4 \pi}\)
Średnia gęstość linii \(\displaystyle{ \overline{\lambda} = \frac{1}{2} \left( \lambda_{t=0} + \lambda_{t=2 \pi } \right)= \frac{1}{2} \lambda_{t=2 \pi} = 2 \pi}\)
Masa linii: \(\displaystyle{ m = \overline{\lambda} \cdot l}\)
a jej długość: \(\displaystyle{ l = \sqrt{P^2 +(2 \pi r)^2 } = \sqrt{(2t)^(2 \pi r)^2 }}\)
\(\displaystyle{ l = \sqrt{(2 \cdot 2 \pi)^2 + (2 \pi )^2 \cdot 3^2 } = 2 \pi \sqrt{13}}\)
zatem masa linii \(\displaystyle{ m = 2 \pi \cdot 2 \pi \sqrt{13}= 4 \pi ^2 \sqrt{13}}\)
a jej moment bezwładności względem osi walca podziałowego
\(\displaystyle{ J_z = mr^2 = 4 \pi ^2 \sqrt{13} \cdot 3^2 = 52 \pi ^2 \sqrt{13}}\)