Monotoniczność ciągu

[janusz47]

Proszę zbadać monotoniczność ciągu liczbowego o wyrazie ogólnym:

\(\displaystyle{ d_{n} = \frac{2^{n}+3^{n}}{2^{n+1}+3^{n+1}}.}\)

I

\(\displaystyle{ d_{n+1}- d_{n} = \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n+2}+3^{n+2}}- \frac{2^{n}+3^{n}}{2^{n+1}+3^{n+1}}= \frac{(2^{n+1}+3^{n+1})^2 - (2^{n+2}+3^{n+2})(2^{n}+3^{n})}{(2^{n+2}+3^{n+2})(2^{n+1}+3^{n+1})} = ... = \frac{-5\cdot 6^{n}-54\cdot 3^{n}}{(2^{n+2}+3^{n+2})(2^{n+1}+3^{n+1})}< 0.}\)

II

Zapisujemy wyraz ogólny ciągu w postaci sumy dwóch wyrazów ogólnych ciągów:

\(\displaystyle{ d_{n} =\frac{2^{n}+3^{n}}{2^{n+1}+3^{n+1}}= \frac{2^{n}}{2^{n+1}+3^{n+1}} + \frac{3^{n}}{2^{n+1}+3^{n+1}} = d_{1}+ d_{2}}\)

i badamy monotoniczność ciągów \(\displaystyle{ (d_{1}), (d_{2})}\).

Stwierdzamy metodą j.w., że są to ciągi malejące.

Korzystamy z twierdzenia " suma ciągów malejących jest ciągiem malejącym".

III

Badamy iloraz wyrazów ogólnych ciągów:

\(\displaystyle{ \frac{d_{n+1}}{d_{n}}}\) i stwierdzamy, że jest on mniejszy od jedności.

[a4karo]

Brawo ! Pięknie umiesz.

Szczególnie w drugiej metodzie wspaniale wygląda zapis \(\displaystyle{ d_n=(...)=d_1+d_2}\)

A ponadto \(\displaystyle{ (2^{n+1}+3^{n+1})^2-(2^{n+2}+3^{n+2})(2^n+3^n)=-6^n}\)

[Premislav]

Wielce szanowny panie a4karo, uniżenie proszę o zwrócenie uwagi na taki drobiazg, iż przed wykrzyknikiem nie należy stawiać spacji.

BTW Jak już czepiamy się jakichś głupotek, to suma skończenie wielu ciągów malejących jest ciągiem malejącym.