[Algebra] miniMix szkolny
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
[Algebra] miniMix szkolny
01. Pokazać, że równanie
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = (x - y)(y - z)(z - x)}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.
02. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} = 1}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ abc \le 1/8.}\)
03. Rozwiąż w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x,y,z:}\)
\(\displaystyle{ x + y = 1 - z, \ \ x^3 + y^3 = 1 - z^2}\)
04. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{(b + c - a)^2}{(b + c)^2 + a^2} + \frac{(c + a - b)^2}{(c + a)^2 + b^2} + \frac{(a + b - c)^2}{(a + b)^2 + c^2} \ge \frac{3}{5}}\)
05. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ abc = 1.}\) Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^3}{(b - c)(b - a)} + \frac{c^3}{(c - a)(c - b)} \ge 3}\)
06. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą większą od \(\displaystyle{ 3.}\) Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (a,b)}\) spełniające równanie
\(\displaystyle{ a^2 + 3ab + 2p(a + b) + p^2 = 0.}\)
07. Niech \(\displaystyle{ x, y}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ x + y = 2.}\) Udowodnij, że
\(\displaystyle{ x^3 y^3(x^3 + y^3) \le 2}\)
08. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ a + b + c \ge abc}\). Udowodnij. że \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \ge \sqrt{3}abc.}\)
09. Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} < \frac{e}{f}}\)
Przyjmijmy założenie, że \(\displaystyle{ af - be = -1.}\) Pokazać, że \(\displaystyle{ d \ge b + f.}\)
10. Udowodnij dla \(\displaystyle{ x, y > 0.}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy}}\)
11. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
\(\displaystyle{ \frac{ab}{1 + bc} + \frac{bc}{1 + ca} + \frac{ca}{1 + ab} = 1}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \ge 6 \sqrt{2}.}\)
12. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) w liczbach całkowitych takich, że \(\displaystyle{ x^3 + y^4 = z^{31}.}\)
13. Oznaczmy obecny wiek dwóch braci literkami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz ojca literką \(\displaystyle{ c}\), ponadto literki \(\displaystyle{ a,b,c}\) to trzy różne dodatnie liczby całkowite. Niech \(\displaystyle{ \frac{b - 1}{a - 1} \text{ i } \frac{b + 1}{a + 1}}\) będą dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi, oraz \(\displaystyle{ \frac{c - 1}{b - 1} \text{ i } \frac{c + 1}{b + 1}}\) będą dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi. Jeśli \(\displaystyle{ a + b + c \le 150,}\) ustalić \(\displaystyle{ a,b,c.}\)
14. Znajdź wszystkie czwórki \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) w liczbach naturalnych takie, że \(\displaystyle{ a \le b \le c \text{ i } a! + b! + c! = 3^d.}\)
15. Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c,x}\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ abc \neq 0 \text{ i }
\frac{xb + (1 - x)c}{a} = \frac{xc + (1-x)a}{b} = \frac{xa + (1-x)b}{c}.}\)
Udowodnij, że wtedy \(\displaystyle{ a + b + c = 0}\) lub \(\displaystyle{ a = b = c.}\)
\Edycja -poprawiono zadanie 5, pomyliłem literki oraz w zadaniu 11 zwrot nierówności. Przepraszam.
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = (x - y)(y - z)(z - x)}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.
02. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} = 1}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ abc \le 1/8.}\)
03. Rozwiąż w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x,y,z:}\)
\(\displaystyle{ x + y = 1 - z, \ \ x^3 + y^3 = 1 - z^2}\)
04. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{(b + c - a)^2}{(b + c)^2 + a^2} + \frac{(c + a - b)^2}{(c + a)^2 + b^2} + \frac{(a + b - c)^2}{(a + b)^2 + c^2} \ge \frac{3}{5}}\)
05. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ abc = 1.}\) Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^3}{(b - c)(b - a)} + \frac{c^3}{(c - a)(c - b)} \ge 3}\)
06. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą większą od \(\displaystyle{ 3.}\) Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (a,b)}\) spełniające równanie
\(\displaystyle{ a^2 + 3ab + 2p(a + b) + p^2 = 0.}\)
07. Niech \(\displaystyle{ x, y}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ x + y = 2.}\) Udowodnij, że
\(\displaystyle{ x^3 y^3(x^3 + y^3) \le 2}\)
08. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ a + b + c \ge abc}\). Udowodnij. że \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \ge \sqrt{3}abc.}\)
09. Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} < \frac{e}{f}}\)
Przyjmijmy założenie, że \(\displaystyle{ af - be = -1.}\) Pokazać, że \(\displaystyle{ d \ge b + f.}\)
10. Udowodnij dla \(\displaystyle{ x, y > 0.}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy}}\)
11. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
\(\displaystyle{ \frac{ab}{1 + bc} + \frac{bc}{1 + ca} + \frac{ca}{1 + ab} = 1}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \ge 6 \sqrt{2}.}\)
12. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) w liczbach całkowitych takich, że \(\displaystyle{ x^3 + y^4 = z^{31}.}\)
13. Oznaczmy obecny wiek dwóch braci literkami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz ojca literką \(\displaystyle{ c}\), ponadto literki \(\displaystyle{ a,b,c}\) to trzy różne dodatnie liczby całkowite. Niech \(\displaystyle{ \frac{b - 1}{a - 1} \text{ i } \frac{b + 1}{a + 1}}\) będą dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi, oraz \(\displaystyle{ \frac{c - 1}{b - 1} \text{ i } \frac{c + 1}{b + 1}}\) będą dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi. Jeśli \(\displaystyle{ a + b + c \le 150,}\) ustalić \(\displaystyle{ a,b,c.}\)
14. Znajdź wszystkie czwórki \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) w liczbach naturalnych takie, że \(\displaystyle{ a \le b \le c \text{ i } a! + b! + c! = 3^d.}\)
15. Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c,x}\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ abc \neq 0 \text{ i }
\frac{xb + (1 - x)c}{a} = \frac{xc + (1-x)a}{b} = \frac{xa + (1-x)b}{c}.}\)
Udowodnij, że wtedy \(\displaystyle{ a + b + c = 0}\) lub \(\displaystyle{ a = b = c.}\)
\Edycja -poprawiono zadanie 5, pomyliłem literki oraz w zadaniu 11 zwrot nierówności. Przepraszam.
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2018, o 06:46 przez Elayne, łącznie zmieniany 2 razy.