Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunki: \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) oraz \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=6}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ a^2b+b^2c+c^2a\le 5abc+14}\). Kiedy zachodzi równość?
PS Nie znam na razie eleganckiego rozwiązania tego zadania. Może to się zmieni.
jeśli się nie pomyliłem w rachunkach, to równość zachodzi dla \(\displaystyle{ a=2\sin\left(\frac 16\pi + \frac \vartheta 3\right), b=2\sin\left(\frac 56\pi + \frac \vartheta 3\right), c=2\sin\left(\frac 96\pi + \frac \vartheta 3\right)}\), przy czym \(\displaystyle{ \vartheta = \arccos \frac{13}{14}}\)
Ukryta treść:
najpierw przypadek \(\displaystyle{ a=b}\), wtedy to \(\displaystyle{ c=-2a}\) i z warunku \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=6}\) wyliczamy natychmiast \(\displaystyle{ a=b=\pm1, c=\mp2}\) i bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że nierówność jest spełniona
od teraz zakładamy, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są parami różne; ze względu na cykliczność założymy dodatkowo, że \(\displaystyle{ a\ge 0}\)
jest jasne, że przy założeniu \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) równość \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=6}\) jest równoważna \(\displaystyle{ ab+bc+ca=-3}\) i w takim razie warunek z zadania jest równoważny temu, że liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ (t-a)(t-b)(t-c)=t^3-3t-abc}\)
to zaś jest równoważne układowi równań \(\displaystyle{ a^2=3+bc, b^2=3+ca, c^2=3+ab}\) i nietrudno zobaczyć, że przy ustalonym \(\displaystyle{ a}\) zbiór \(\displaystyle{ \{b,c\}}\) jest wyznaczony jednoznacznie
mamy \(\displaystyle{ a^2 = 6-b^2-c^2 \le 6-\frac{(b+c)^2}{2} = 6-\frac{a^2}{2}}\), skąd \(\displaystyle{ a\le 2}\) i wobec tego \(\displaystyle{ a=2\sin \xi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ 0\le \xi \le \frac \pi 2}\)
bezpośrednio sprawdzamy, że gdy \(\displaystyle{ \{b,c\}=\left\{2\sin\left(\frac{2\pi}3+\xi\right), 2\sin\left(\frac{4\pi}3+\xi\right)\right\}}\), to nasz układ równań jest spełniony; dzięki uwadze o jednoznaczności mamy więc sparametryzowane wszystkie trójki \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniające warunki zadania
pozostaje zapisać wyrażenie \(\displaystyle{ 14+5abc-a^2b-b^2c-c^2a}\) jako funkcję zmiennej \(\displaystyle{ \xi}\) (pamiętając, że są dwa przypadki) i wykazać, że jest ona nieujemna
jeden z przypadków sprowadza się do drugiego gdyż zamiana zmiennych \(\displaystyle{ (a,b,c) \mapsto (a,c,b)}\) powiększy wartość \(\displaystyle{ a^2b+b^2c+c^2a}\)
w interesującym nas przypadku okazuje się, że \(\displaystyle{ 14+5abc-a^2b-b^2c-c^2a = 14(1-\sin(3\xi - \vartheta)) \ge 0}\), gdzie \(\displaystyle{ \vartheta = \arccos \frac{13}{14}}\)
Dzięki. Wyniki się zgadzają.
Mnie też się wydaje, że główna trudność tkwi tu w rachunkach (do głowy nie przyszłoby mi to ostatnie zwinięcie, a gdyby nawet przyszło, to jeszcze trzeba je przeprowadzić ) - w końcu to faktycznie nierówność jednej zmiennej, czy to będzie któraś z \(\displaystyle{ a,b,c}\), czy też ich iloczyn. Może nie samo dłubanko, ale w znacznej mierze.
Inny sposób na to zadanie to symetryzacja i użycie wielomianów symetrycznych.
