rozwiązanie ogólne i szczególne y'=sinx

[salieri93]

Cześć wszystkim!
Poszukuję odpowiedzi na pytanie czy można podać rozwiązanie ogólne i szczególne różniczki y'=sinx
Jeśli tak to jak to zacząć?
Pozdrawiam

[Gamma]

Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych. Więc zaczynamy tak:
\(\displaystyle{ \frac{\text{d}y} {\text{d} x}=\sin x}\). Stąd
\(\displaystyle{ \text{d} y=\sin x\text{d} x}\)
Całkując obustronnie dostajemy rozwiązanie ogólne. Żeby dostać rozwiązanie szczególne potrzebujemy jakiegoś zadanego warunku początkowego.

[salieri93]

czyli całkuje y' i sinx ??
Równanie ogólne bedzie wynosiło y=-cosx*D

[kerajs]

Stawiałbym, że rozwiązanie ogólne to: \(\displaystyle{ y_o=C}\) (jako rozwiązanie równania jednorodnego), a szczególne: \(\displaystyle{ y_s=-\cos x}\) (jako szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego).

[salieri93]

a możecie mi to rozpisać? Trochę nie za bardzo wiem jak do tego podejść ..
źle napisałem wcześniej w komentarzu.
y'=0
za 0 mogę wstawić 1 ? bo zera nie będę całkować
Całkuje y'
całka i prim sie nie skracają razem?

[janusz47]

To nie jest różniczka, tylko równanie różniczkowe I rzędu - bezpośrednio całkowalne.

Nie trzeba rozdzielać zmiennych.

Rozwiązanie ogólne (jak podał Kol. kierajs):

\(\displaystyle{ y(x) = \int y'(x)dx = \int sin(x)dx = -cos(x) + C.}\)

Rozwiązanie szczególne otrzymamy, gdy wyznaczymy wartość stałej \(\displaystyle{ C.}\)

Kiedy możemy wyznaczyć wartość stałej \(\displaystyle{ C?}\)

Wtedy, gdy mamy podany warunek początkowy.

Na przykład:

\(\displaystyle{ y(0) = 0.}\)

\(\displaystyle{ 0 = -cos(0) + C}\)

\(\displaystyle{ 0 = -1 +C, \ \ C = 1.}\)

Rozwiązanie szczególne (rozwiązanie problemu Cauchy) jest postaci.

\(\displaystyle{ y_{s}(x) = -\cos(x) + 1.}\)